Question

14．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，點E是AB邊上一點．
（1）求證：CD⊥AB；
（2）若BF⊥CE于點F，交CD于點G（如圖1），求證：AE=CG．
（3）若將CE移至（如圖2）位置，此時，BH⊥CE，垂足為點H，交CD的延長線于點M，找出此時圖中與AE相等的線段．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）先證出∠ACE=∠CBG，再由ASA證明△ACE≌△CBG，得出對應(yīng)邊相等即可；
（3）先證出∠CEA=∠CMB，再由AAS證明△ACE≌△BCM，得出對應(yīng)邊相等即可．

解答 （1）證明：∵AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，
∴CD⊥AB（三線合一）；
（2）證明：∵AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，∠ACE=90°-∠BCF，
∵BF⊥CE，
∴∠CFB=90°，
∴∠CBG=90°-∠BCF，
∴∠ACE=∠CBG，
在△ACE和△CBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BCG=45°}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\\{∠ACE=∠BCG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBG（ASA），
∴AE=CG；
（3）解：CM=AE；理由：
∵CD⊥AB，BH⊥CE，
∴∠CDE=∠CHM=90°，
∴∠DCE+∠CEA=90°，∠DCE+∠CMB=90°，
∴∠CEA=∠CMB，
在△ACE和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BCM=45°}&{\;}\\{∠CEA=∠CMB}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCM（AAS），
∴CM=AE．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．