Question

2．如圖所示△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B的平分線交于D點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形CEDF為正方形；
（2）若AC=6，BC=8，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）直接利用矩形的判定方法以及角平分線的性質(zhì)得出四邊形CEDF為正方形；
（2）利用三角形面積求法得出EC的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，
∵∠C=90°，DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，
∴四邊形FCED是矩形，
又∵∠A，∠B的平分線交于D點(diǎn)，
∴DF=DE=DN，
∴矩形FCED是正方形；

（2）解：∵AC=6，BC=8，∠C=90°，
∴AB=10，
∵四邊形CEDF為正方形，
∴DF=DE=DN，
∴DF×AC+DE×BC+DN×AB=AC×BC，
則EC（AC+BC+AB）=AC×BC，
故EC=$\frac{6×8}{6+8+10}$=2．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了正方形的判定以及三角形面積求法和角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，得出DF=DE是解題關(guān)鍵．