Question

7．如圖1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，BH=5．
探究：如圖1，AH⊥BC于點H，則AH=12，AC=15，△ABC的面積S_△ABC=84；
拓展：如圖2，點D在AC上（可與點A，C重合），分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足為E，F(xiàn)，設BD=x，AE=m，CF=n（當點D與點A重合時，我們認為S_△ABD=0）
（1）用含x，m，n的代數(shù)式表示S_△ADB及S_△CBD；
（2）求（m+n）與x的函數(shù)關(guān)系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D，直接寫出這樣的x的取值范圍．

Answer 1

分析 探究：根據(jù)勾股定理計算即可；
（1）根據(jù)三角形的面積公式計算；
（2）根據(jù)△ABC的面積是84，列出關(guān)系式，求出（m+n）與x的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖形求出（m+n）的最大值和最小值；
（3）根據(jù)當BD⊥AC時，m+n有最大值解答．

解答 解：探究：由勾股定理得，AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=12，
AC=$\sqrt{A{H}^{2}+H{C}^{2}}$=15，
△ABC的面積S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AH=84，
故答案為：12；15；84；
（1）S_△ADB=$\frac{1}{2}$×BD×AE=$\frac{1}{2}$mx，
S_△CBD=$\frac{1}{2}$×BD×CH=$\frac{1}{2}$nx；
（2）$\frac{1}{2}$mx+$\frac{1}{2}$nx=84，
m+n=$\frac{168}{x}$，
當BD⊥AC時，m+n有最大值15，
當BD值最大時，m+n有最小值．
∴當點D與點C重合時m+n有最小值．
∴m+n的最小值為$\frac{168}{14}$=12；
（3）當BD⊥AC時，
x=BD=$\frac{168}{15}$=11.2，只能確定唯一的點D．

點評 本題考查的是三角形的綜合運用，掌握三角形的面積公式、靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．