Question

12．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經過A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得四邊形PAOC的周長最小？若存在，求出四邊形PAOC周長的最小值；若不存在，請說明理由．
（3）如圖②，點Q是線段OB上一動點，連接BC，在線段BC上是否存在這樣的點M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點的坐標代入函數解析式，利用待定系數法求解；
（2）A、B關于對稱軸對稱，連接BC，則BC與對稱軸的交點即為所求的點P，此時PA+PC=BC，四邊形PAOC的周長最小值為：OC+OA+BC；根據勾股定理求得BC，即可求得；
（3）分兩種情況分別討論，即可求得．

解答 解：（1）根據題意設拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-4），
代入C（0，3）得3=4a，
解得a=$\frac{3}{4}$，
y=$\frac{3}{4}$（x-1）（x-4）=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{5}$x+3，
所以，拋物線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3．
（2）∵A、B關于對稱軸對稱，如圖1，連接BC，
∴BC與對稱軸的交點即為所求的點P，此時PA+PC=BC，
∴四邊形PAOC的周長最小值為：OC+OA+BC，
∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），
∴OA=1，OC=3，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
∴OC+OA+BC=1+3+5=9；
∴在拋物線的對稱軸上存在點P，使得四邊形PAOC的周長最小，四邊形PAOC周長的最小值為9．
（3）∵B（4，0）、C（0，3），
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，
①當∠BQM=90°時，如圖2，設M（a，b），
∵∠CMQ＞90°，
∴只能CM=MQ=b，
∵MQ∥y軸，
∴△MQB∽△COB，
∴$\frac{BM}{BC}$=$\frac{MQ}{OC}$，即$\frac{5-b}{5}$=$\frac{3}$，解得b=$\frac{15}{8}$，代入y=-$\frac{3}{4}$x+3得，$\frac{15}{8}$=-$\frac{3}{4}$a+3，解得a=$\frac{3}{2}$，
∴M（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{8}$）；
②當∠QMB=90°時，如圖3，
∵∠CMQ=90°，
∴只能CM=MQ，
設CM=MQ=m，
∴BM=5-m，
∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，
∴△BMQ∽△BOC，
∴$\frac{m}{3}$=$\frac{5-m}{4}$，解得m=$\frac{15}{7}$，
作MN∥OB，
∴$\frac{MN}{OB}$=$\frac{CN}{OC}$=$\frac{CM}{BC}$，即$\frac{MN}{4}$=$\frac{CN}{3}$=$\frac{\frac{15}{7}}{5}$，
∴MN=$\frac{12}{7}$，CN=$\frac{9}{7}$，
∴ON=OC-CN=3-$\frac{9}{7}$=$\frac{12}{7}$，
∴M（$\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$），
綜上，在線段BC上存在這樣的點M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形，點M的坐標為（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{8}$）或（$\frac{12}{7}$，$\frac{12}{7}$）．

點評 本題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法求二次函數的解析式，軸對稱-最短路線問題，等腰三角形的性質等；分類討論思想的運用是本題的關鍵．