Question

15．在一次研究性學(xué)習(xí)活動中，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了一種直角三角形的作法，方法如圖1所示：畫線段AB，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于$\frac{1}{2}$AB的長為半徑畫�。畠苫∠嘟挥邳c(diǎn)C，連結(jié)AC；再以點(diǎn)C為圓心，以AC長為半徑畫弧，交AC的延長線于D，連結(jié)DB．則△ABD就是直角三角形．
（1）請證明此作法的正確性；
（2）如圖2，已知線段AB，請利用上述方法作一個 Rt△ABC，使得AB為直角邊，∠C=30°（不寫作法，保留作圖痕跡）．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BC，利用等腰三角形的性質(zhì)，由CA=CB得到∠CAB=∠CBA，由CD=CD得到∠D=∠CBD，則∠ABC=∠ABC+∠CBD=$\frac{1}{2}$（∠A+∠CBA+∠CBD+∠D），然后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得到∠ABD=90°；
（2）由（1）的畫法畫直角△ABC即可，畫出的△ABD為等邊三角形時，∠A=60°，即可得出∠C=30°．

解答 解：（1）如圖1，連接BC，

由作圖可知，AC=BC=CD，
∴∠A=∠ABC，∠CBD=∠CDB，
∵∠A+∠ABC+∠CBD+∠CDB=180°，
∴2∠ABC+2∠CBD=180°，
∴∠ABC+∠CBD=90°，
即∠ABD=90°，
∴△ABD是直角三角形；

（2）如圖2，分別以點(diǎn)A、B為圓心，AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)D；
連結(jié)AD并延長，再以點(diǎn)D為圓心，以AD長為半徑畫弧，交AD的延長線于C；
連結(jié)BC，則△ABC就是直角三角形．

點(diǎn)評 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．