Question

10．如圖，Rt△ABO的頂點A是雙曲線y=$\frac{k}{x}$與直線y=-x-（k+1）在第二象限的交點，AB⊥x軸于B，且S_△ABO=$\frac{3}{2}$，求：
（1）求這兩個函數(shù)的解析式；
（2）求直線與雙曲線的兩個交點A、C的坐標(biāo)和△AOC的面積；
（3）當(dāng)x為何值時？一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義結(jié)合反比例函數(shù)圖象在第二、四象限，可求出k值，由此即可得出兩個函數(shù)的解析式；
（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組即可求出點A、C的坐標(biāo)，設(shè)直線AC與x軸交于點D，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點D的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出△AOC的面積；
（3）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系結(jié)合交點的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵AB⊥x軸于B，且S_△ABO=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{3}{2}$，
解得：k=±3．
∵反比例函數(shù)圖象在第二、四象限，
∴k＜0，
∴k=-3，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{3}{x}$，一次函數(shù)的解析式為y=-x+2．
（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{x}}\\{y=-x+2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
∴點A的坐標(biāo)為（-1，3），點C的坐標(biāo)為（3，-1）．
設(shè)直線AC與x軸交于點D，如圖所示．
當(dāng)y=-x+2=0時，x=2，
∴點D的坐標(biāo)為（2，0），
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OD•（y_A-y_C）=$\frac{1}{2}$×2×[3-（-1）]=4．
（3）觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x＜-1或0＜x＜3時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，
∴當(dāng)x＜-1或0＜x＜3時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例函數(shù)k的幾何意義、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義結(jié)合反比例函數(shù)圖象所在象限，求出k值；（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組求出點A、C的坐標(biāo)；（3）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系找出結(jié)論．