Question

12．如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，BC═2AB，AD是中線，求證：△ABD是等邊三角形．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到AB=BD=CD，在CB的延長線上截取BE=AB，連接AE，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠E=∠BAE，得到∠E=∠C，由等腰三角形的判定得到AE=AC，
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB=AD，根據(jù)得到結(jié)論．

解答 證明：∵BC=2AB，AD是BC邊的中線，
∴AB=BD=CD，
在CB的延長線上截取BE=AB，連接AE
則∠E=∠BAE，
∵∠B=∠E+∠BAE=2∠E，∠B=2∠C，
∴∠E=∠C，
∴AE=AC，
在△ADE與△ABC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠E=∠C}\\{ED=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴AB=AD，
∴AB=BD=AD，
即△ABD是等邊三角形．

點評 本題考查了等邊三角形的好像和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．