Question

12．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E在BC上，以CE為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)F，AO∥EF
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）如圖2，連結(jié)CF交AO于點(diǎn)G，交AE于點(diǎn)P，若BE=2，BF=4，求$\frac{AP}{PE}$的值．

Answer 1

分析 （1）連接OF，如圖，利用平行線的性質(zhì)得到∠1=∠3，∠2=∠4，加上∠3=∠4，則∠1=∠2，再證明△AOC≌△AOF得到∠ACO=∠AFO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可得到結(jié)論；（2）在Rt△OFB中，設(shè)OE=OF=r，利用勾股定理得到r²+4²=（r+2）²，解得r=3，則OB=5，設(shè)AC=AF=t，則AB=4+t，利用勾股定理得到t²+8²=（t+4）²，解得t=6，則可計(jì)算出AO=3$\sqrt{5}$，利用AC²=AO•AG，計(jì)算出AG=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，所以AO=$\frac{5}{4}$AG，再證明△BEF∽△BOA得到$\frac{EF}{OA}$=$\frac{BE}{BO}$=$\frac{2}{5}$，于是得到$\frac{EF}{AG}$=$\frac{1}{2}$，然后證明△PEF∽△PAG，利用相似比可得到$\frac{AP}{PE}$的值．

解答 （1）證明：連接OF，如圖1，
∵OA∥EF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵OE=OF，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
在△AOC和△AOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OF}\\{∠1=∠2}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△AOF，
∴∠ACO=∠AFO=90°，
∴OF⊥AB，
∴AB是⊙O的切線；

（2）解：如圖2，在Rt△OFB中，設(shè)OE=OF=r，
∵OF²+BF²=OB²，
∴r²+4²=（r+2）²，解得r=3，
∴OB=5，
設(shè)AC=AF=t，則AB=4+t，
在Rt△ACB中，t²+8²=（t+4）²，解得t=6，
即AC=6，
∴AO=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵AC²=AO•AG，
∴AG=$\frac{36}{3\sqrt{5}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∴AO=$\frac{5}{4}$AG，
∵OA∥EF，
∴△BEF∽△BOA，
∴$\frac{EF}{OA}$=$\frac{BE}{BO}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{EF}{\frac{5}{4}AG}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{EF}{AG}$=$\frac{1}{2}$，
∵EF∥GA，
∴△PEF∽△PAG，
∴$\frac{AP}{PE}$=$\frac{AG}{EF}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．