Question

4．觀察：
①$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}=1\frac{1}{2}$：
②$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}=1\frac{1}{6}$：
③$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=1\frac{1}{12}$．
按照上面的規(guī)律$\sqrt{1+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{5}^{2}}}$=1$\frac{1}{20}$．
當n為正整數(shù)時，$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$的值為1$\frac{1}{n（n+1）}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題中給出的列子找出規(guī)律即可得出結論．

解答 解：觀察：
①$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}=1\frac{1}{2}$：
②$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}=1\frac{1}{6}$：
③$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=1\frac{1}{12}$．
∴$\sqrt{1+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{5}^{2}}}$=1+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4+1}$=1$\frac{1}{20}$，
當n為正整數(shù)時，$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1$\frac{1}{n（n+1）}$．
故答案為：1$\frac{1}{20}$，1$\frac{1}{n（n+1）}$．

點評 本題考查的是二次根式的性質與化簡，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關鍵．