Question

20．已知，如圖，△ABC是等邊三角形，點D是AC的中點，延長BC到E，使CE=CD，連接DE，過點D作DM⊥BE于M．
（1）求∠E的度數(shù)．
（2）求證：BM=EM．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得∠ACB=60°，然后根據(jù)CE=CD，可得∠E=∠CDE；最后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，求出∠E的度數(shù)即可．
（2）首先連接BD，判斷出∠ABC=2∠DBE，∠ACB=2∠E；然后根據(jù)∠ABC=∠ACB，判斷出∠DBC=∠E，所以BD=DE，再根據(jù)DM⊥BE，判斷出BM=EM即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠ACB=2∠E，
∴∠E=60°÷2=30°．
即∠E的度數(shù)是30°．

（2）如圖，連接BD，，
∵△ABC是等邊三角形，D是AC的中點，
∴BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABC=2∠DBE；
∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE．
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠ACB=2∠E；
∵∠ABC=∠ACB，
∴2∠DBC=2∠E，
∴∠DBC=∠E，
∴BD=DE，
∵DM⊥BE，
∴BM=EM．

點評 （1）此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°．
（2）此題還考查了等腰三角形的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩個底角相等；③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．
（3）此題還考查了三角形的外角的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和．