Question

15．如圖，拋物線y₁=$\frac{1}{2}$（x+1）²+1與y₂=a（x-4）²-3交于點(diǎn)A（1，3），過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于B、C兩點(diǎn)，且D、E分別為頂點(diǎn)．則下列結(jié)論：
①a=$\frac{2}{3}$；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④當(dāng)x＞1時(shí)，y₁＞y₂
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y₂，求出a的值，即可得到函數(shù)解析式；令y=3，求出A、B、C的橫坐標(biāo)，然后求出BD、AD的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理以及結(jié)合二次函數(shù)圖象分析得出答案．

解答 解：∵拋物線y₁=$\frac{1}{2}$（x+1）²+1與y₂=a（x-4）²-3交于點(diǎn)A（1，3），
∴3=a（1-4）²-3，
解得：a=$\frac{2}{3}$，故①正確；
過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，
∵E是拋物線的頂點(diǎn)，
∴AE=EC，E（4，-3），
∴AF=3，EF=6，
∴AE=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，AC=2AF=6，
∴AC≠AE，故②錯(cuò)誤；
當(dāng)y=3時(shí)，3=$\frac{1}{2}$（x+1）²+1，
解得：x₁=1，x₂=-3，
故B（-3，3），D（-1，1），
則AB=4，AD=BD=2$\sqrt{2}$，
∴AD²+BD²=AB²，
∴③△ABD是等腰直角三角形，正確；
∵$\frac{1}{2}$（x+1）²+1=$\frac{2}{3}$（x-4）²-3時(shí)，
解得：x₁=1，x₂=37，
∴當(dāng)37＞x＞1時(shí)，y₁＞y₂，故④錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，已知函數(shù)值求自變量的值．