Question

11．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCO是菱形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，4），點(diǎn)C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點(diǎn)M，AB邊交y軸于點(diǎn)H，鏈接BM

（1）菱形ABCO的邊長(zhǎng)5
（2）求直線AC的解析式；
（3）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線ABC方向以2個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)△PMB的面積為S（S≠0），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
①當(dāng)0＜t＜$\frac{5}{2}$時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
②在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)S=3，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．

Answer 1

分析 （1）Rt△AOH中利用勾股定理即可求得菱形的邊長(zhǎng)；
（2）根據(jù)（1）即可求的OC的長(zhǎng)，則C的坐標(biāo)即可求得，利用待定系數(shù)法即可求得直線AC的解析式；
（3）根據(jù)S_△ABC=S_△AMB+S_BMC求得M到直線BC的距離為h，然后分成P在AM上和在MC上兩種情況討論，利用三角形的面積公式求解．

解答 解：（1）Rt△AOH中，
AO=$\sqrt{A{H}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
所以菱形邊長(zhǎng)為5；
故答案為：5；

（2）∵四邊形ABCO是菱形，
∴OC=OA=AB=5，即C（5，0）．
設(shè)直線AC的解析式y(tǒng)=kx+b，函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)A、C，得
$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{-3k+b=4}\\{\;}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
直線AC的解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$；

（3）設(shè)M到直線BC的距離為h，
當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{5}{2}$，即M（0，$\frac{5}{2}$），HM=HO-OM=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
由S_△ABC=S_△AMB+S_BMC=$\frac{1}{2}$AB•OH=$\frac{1}{2}$AB•HM+$\frac{1}{2}$BC•h，
$\frac{1}{2}$×5×4=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$×5h，解得h=$\frac{5}{2}$，
①當(dāng)0＜t＜$\frac{5}{2}$時(shí)，BP=BA-AP=5-2t，HM=OH-OM=$\frac{3}{2}$，
S=$\frac{1}{2}$BP•HM=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$（5-2t）=-$\frac{3}{2}$t+$\frac{15}{4}$；
②當(dāng)2.5＜t≤5時(shí)，BP=2t-5，h=$\frac{5}{2}$，
S=$\frac{1}{2}$BP•h=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$（2t-5）=$\frac{5}{2}$t-$\frac{25}{4}$，
把S=3代入①中的函數(shù)解析式得，3=-$\frac{3}{2}$t+$\frac{15}{4}$，
解得：t=$\frac{1}{2}$，
把S=3代入②的解析式得，3=$\frac{5}{2}$t-$\frac{25}{4}$，
解得：t=$\frac{37}{10}$．
∴t=$\frac{1}{2}$或$\frac{37}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及菱形的性質(zhì)，根據(jù)三角形的面積關(guān)系求得M到直線BC的距離h是關(guān)鍵．