Question

3．閱讀理解并解答問題
如果a、b、c為正整數，且滿足a²+b²=c²，那么，a、b、c叫做一組勾股數．
（1）請你根據勾股數的意思，說明為什么3、4、5是一組勾股數；
（2）寫出一組不同于3、4、5的勾股數；
（3）如果m表示大于1的整數，且a=2m，b=m²-1，c=m²+1，請你根據勾股數的意思，說明a、b、c為勾股數．

Answer 1

分析 （1）直接利用勾股數的定義去驗證即可；
（2）根據勾股數的定義：滿足a²+b²=c²的三個正整數，稱為勾股數，即可寫出一組勾股數；
（3）得到a²+b²=c²即可得到這是一組勾股數．

解答 解：（1）∵3、4、5是正整數，且3²+4²=5²，
∴3、4、5是一組勾股數；
（2）∵12²+16²=20²，且12，16，20都是正整數，
∴一組勾股數可以是12，16，20．答案不唯一；  
（3）∵m表示大于1的整數，
∴由a=2m，b=m²-1，c=m²+1得到a、b、c均為正整數；
又∵a²+b²=（2m）²+（m²-1）²=4m²+m⁴-2m²+1=m⁴+2m²+1，而c²=（m²+1）²=m⁴+2m²+1，
∴a²+b²=c²，
∴a、b、c為勾股數．

點評 本題考查了勾股數的定義，欲判斷是否為勾股數，必須根據勾股數是正整數，同時還需驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方．注意本題答案不唯一．