Question

9．如圖所示，點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC上的一點(diǎn)，連接DP并延長(zhǎng)DP交邊AB于點(diǎn)E，連接BP并延長(zhǎng)BP交邊AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G．
（1）求證：PB=PD；
（2）若已知$\frac{DF}{FA}$=$\frac{1}{2}$，請(qǐng)確定線(xiàn)段DP與線(xiàn)段PF之間滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系；并求當(dāng)DP=6時(shí)，線(xiàn)段FG的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△DGP是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出tan∠DAB的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；
（2）首先證明△DFP≌△BEP，進(jìn)而得出$\frac{DG}{AB}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{3}$，進(jìn)而得出 $\frac{DP}{PE}$=$\frac{DG}{EB}$，即 $\frac{3}{2}$=$\frac{DP}{PF}$，即可得出答案；
（3）由（1）證得△APB≌△APD，得到∠ABP=∠ADP，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，得到∠G=∠ABP，①若DG=PG根據(jù)△DGP∽△EBP，得DG=$\frac{9}{2}$a，由勾股定理得到FH=$\sqrt{（6a）2-x2}$=$\frac{20\sqrt{2}}{9}$a
于是得到結(jié)論，②若DG=DP，設(shè)DG=DP=3m，則PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，設(shè)AH=x，求得FH=$\sqrt{（4m）2-x2}$=$\frac{5\sqrt{7}}{4}$m，得到tan∠DAB=$\frac{FH}{AH}$=$\frac{5\sqrt{7}}{9}$．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC平分∠DAB，
∴∠DAP=∠BAP，
在△APB和△APD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAP=∠DAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△APD，
∴PB=PD；          

（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC，
∴△AFP∽△CBP，
∴$\frac{AF}{BC}$=$\frac{FP}{BP}$
∵$\frac{DF}{FA}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AF}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{FP}{BP}$=$\frac{2}{3}$
由（1）知PB=PD，
∴$\frac{PF}{PD}$=$\frac{2}{3}$，
∴PF=$\frac{2}{3}$PD，
當(dāng)DP=6時(shí)，PF=$\frac{2}{3}$×6=4，
∴FB=FP+PB=4+6=10，
∵DG∥AB，
∴△DFG∽△AFB
∴$\frac{FG}{FB}$=$\frac{FD}{FA}$=$\frac{1}{2}$，
∴FG=$\frac{1}{2}$×10=5
即線(xiàn)段FG的長(zhǎng)為5；
∴線(xiàn)段DP與線(xiàn)段PF滿(mǎn)足的數(shù)量關(guān)系是PF=$\frac{2}{3}$PD；當(dāng)DP=6時(shí)，F(xiàn)G的長(zhǎng)為5；

（3）由（1）證得△APB≌△APD，
∴∠ABP=∠ADP，
∵GC∥AB，
∴∠G=∠ABP，
∴∠ADP=∠G，
∴∠GDP＞∠G，
∴PD≠PG．
①若DG=PG，
∵DG∥AB，
∴△DGP∽△EBP，
∴PB=EB，
由（2）知$\frac{PF}{PD}$=$\frac{2}{3}$，設(shè)PF=2a，
則PB=BE=PD=3a，PE=PF=2a，BF=5a，
由△DGP∽△EBP，得DG=$\frac{9}{2}$a，
∴AB=AD=2DG=9a，
∴AF=6a，
作FH⊥AB于H，設(shè)AH=x
則（6a）²-x²=（5a）²-（9a-x）²
解得x=$\frac{46}{9}$a，∴FH=$\sqrt{（6a）2-x2}$=$\frac{20\sqrt{2}}{9}$a
∴tan∠DAB=$\frac{FH}{AH}$=$\frac{10\sqrt{2}}{23}$
②若DG=DP，
設(shè)DG=DP=3m，則PB=3m，PE=BE=PF=2m，
AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，
設(shè)AH=x，
∴（4m）²-x²=（5m）²-（6m-x）²，
解得x=$\frac{9}{4}$m，
∴FH=$\sqrt{（4m）2-x2}$=$\frac{5\sqrt{7}}{4}$m，
∴tan∠DAB=$\frac{FH}{AH}$=$\frac{5\sqrt{7}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．