Question

17．已知∠MON=90°，OC為∠MON的角平分線，P為射線OC上一點(diǎn)，A為直線OM上一點(diǎn)，B為直線ON上一點(diǎn)，且PB⊥PA．
（1）若點(diǎn)A在射線OM上，點(diǎn)B在射線ON上，如圖1，求證：PA=PB；
（2）若點(diǎn)A在射線OM上，點(diǎn)B在射線ON的反向延長(zhǎng)線上，請(qǐng)將圖2補(bǔ)充完整，并說(shuō)明（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（1）的前提下，以圖3中的點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，ON所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線PA與x軸交于D，直線PB與y軸交于E，連接DE，如圖3所示，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），求直線DE的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作PQ⊥OM于Q，PR⊥ON于R，只要證明△PQA≌△PRB．即可解決問(wèn)題；
（2）如圖2中，結(jié)論仍然成立．證明方法類(lèi)似（1）；
（3）如圖3中，作PQ⊥OM于Q，PR⊥ON于R，由△PQA≌△PRB．可得QA=RB，PQ=PR，設(shè)QA=RB=x，PR=OQ=OA-QA=6-x．PQ=OR=OB+BR=2+x，可得6-x=2+x，推出x=2，推出P（4，4），求出直線PA的解析式求出點(diǎn)D坐標(biāo)，同法求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題；

解答 （1）證明：如圖1中，作PQ⊥OM于Q，PR⊥ON于R，

∵OC平分∠MON，
∴PQ=PR，
∵∠APB=∠QPR=90°，
∴∠APQ=∠BPR，
∵∠PQA=∠PRB=90°，
∴△PQA≌△PRB．
∴PA=PB．

（2）解：如圖2中，結(jié)論仍然成立．
理由：作PQ⊥OM于Q，PR⊥ON于R，

∵OC平分∠MON，
∴PQ=PR，
∵∠APB=∠QPR=90°，
∴∠APQ=∠BPR，
∵∠PQA=∠PRB=90°，
∴△PQA≌△PRB．
∴PA=PB．

（3）解：如圖3中，作PQ⊥OM于Q，PR⊥ON于R，

同理可得：△PQA≌△PRB．
∴QA=RB，PQ=PR，
設(shè)QA=RB=x，PR=OQ=OA-QA=6-x．PQ=OR=OB+BR=2+x，
∴6-x=2+x，
∴x=2，
∴P（4，4），
設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{4k+b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線PA的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+6．
由y=0，解得x=12，
∴D（12，0），同理可得E（0，-4），
∴直線DE的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)解決交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．