Question

19．如圖，點(diǎn)P在平行四邊形ABCD的CD邊上，連結(jié)BP并延長與AD的延長線交于點(diǎn)Q．
（1）求證：△AQB∽△CBP；
（2）當(dāng)AB=2PC時(shí)，求證：點(diǎn)D為AQ的中點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由AQ∥BC，PD∥AB，從而可得到△DQP∽△CBP，△DQP∽△QAB，從而可證明△AQB∽△CBP；
（2）由△DQP∽△QAB可知：$\frac{DP}{AB}=\frac{QD}{QA}$，然后根據(jù)AB=2PC可知$\frac{PD}{AB}=\frac{1}{2}$，從而可證得點(diǎn)D為AQ的中點(diǎn)．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AQ∥BC
∴△DQP∽△CBP
∵PD∥AB，
∴△DQP∽△QAB．
∴△AQB∽△CBP．
（2）∵AB=2PC，
∴DP=CP=$\frac{1}{2}$CD．
∴$\frac{PD}{AB}=\frac{1}{2}$．
∵△DQP∽△QAB，
∴$\frac{QD}{AQ}=\frac{PD}{AB}=\frac{1}{2}$．
∴點(diǎn)D為AQ的中點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的性質(zhì)，證得△DQP∽△CBP、△DQP∽△QAB是解題的關(guān)鍵．