Question

7．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，BC邊上的高為4，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段BA運動到點A后，再以每秒1個單位的速度沿線段AD運動，到點D停止．當(dāng)點P不與平行四邊形的頂點重合時，過點P作P所在邊的垂線PQ交直線BC于點Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使點N落在射線PA或PD上，設(shè)點P運動時間為t秒，正方形PQMN與平行四邊形ABCD重疊部分的面積為S（平方單位）．
（1）寫出線段QM的長；
（2）當(dāng)點M落在線段AD上時，求t的值；
（3）當(dāng)點P在線段BA上運動時，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（4）當(dāng)點P運動4秒時，有一點F從D出發(fā)，在線段DA上以每秒5個單位的速度沿D-A-D運動一次，請直接寫出點F在正方形PQMN的邊PN上時t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分兩種情況進(jìn)行計算，當(dāng)P在AB或AD上時，根據(jù)正方形的性質(zhì)和∠B的正切進(jìn)行計算即可；
（2）根據(jù)四邊形ABQM是平行四邊形，得MQ=AB=5，利用tan∠B=$\frac{PQ}{BP}$=$\frac{4}{3}$，求t的值；
（3）先計算當(dāng)N與A重合時，如圖5，t=$\frac{15}{7}$，
再分三種情況討論：①當(dāng)0＜t≤$\frac{15}{7}$時，正方形PQMN與平行四邊形ABCD重疊部分是正方形PQMN，
②當(dāng)$\frac{15}{7}$$＜t≤\frac{15}{4}$時，如圖6，此時正方形PQMN與平行四邊形ABCD重疊部分是五邊形APQME，
③當(dāng)$\frac{15}{4}$＜t＜15時，如圖7此時正方形PQMN與平行四邊形ABCD重疊部分是梯形APQE，
分別求出重疊部分面積；
（4）點F在正方形PQMN的邊PN上時，有兩個時間段，分別計算F從D到A運動、從A返回到D時，當(dāng)F分別與P與N重合時的兩個分界線即可．

解答 解：（1）如圖1，過A作AE⊥BC于E，
∵AB=5，AE=4，
∴BE=3，
∴tan∠B=$\frac{AE}{BE}=\frac{4}{3}$，
當(dāng)0＜t＜5時，如圖2，由題意得：BP=t，
在Rt△BPQ中，tan∠B=$\frac{PQ}{BP}$，
∴$\frac{PQ}{t}$=$\frac{4}{3}$，
∴PQ=$\frac{4t}{3}$，
∵四邊形PQMN是正方形，
∴QM=PQ=$\frac{4t}{3}$；
當(dāng)5＜t＜15時，如圖3，
∵四邊形PQMN是正方形，
∴PQ⊥AD，
∵BC邊上的高為4，
∴PQ=QM=4，
綜上所述，QM的長為$\frac{4t}{3}$或4；

（2）當(dāng)點M落在線段AD上時，如圖4，
∵四邊形PQMN是正方形，
∴PN∥QM，
∴AB∥QM，
∵AM∥BQ，
∴四邊形ABQM是平行四邊形，
∴MQ=AB=5，
∴PQ=5，
tan∠B=$\frac{PQ}{BP}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{5}{t}=\frac{4}{3}$，
∴t=$\frac{15}{4}$；
（3）當(dāng)N與A重合時，如圖5，
∵BP=t，PN=PQ=$\frac{4t}{3}$，
由BP+PN=AB=5得：t+$\frac{4t}{3}$=5，
t=$\frac{15}{7}$，
①當(dāng)0＜t≤$\frac{15}{7}$時，正方形PQMN與平行四邊形ABCD重疊部分是正方形PQMN，
∴S=QM²=$（\frac{4t}{3}）^{2}$=$\frac{16{t}^{2}}{9}$，
②當(dāng)$\frac{15}{7}$$＜t≤\frac{15}{4}$時，如圖6，
此時正方形PQMN與平行四邊形ABCD重疊部分是五邊形APQME，
∵BP=t，AB=5，
∴PA=5-t，
∵PN=$\frac{4t}{3}$，
∴AN=$\frac{4t}{3}$-（5-t）=$\frac{7t}{3}$-5，
∵tan∠NAE=tan∠B，
∴$\frac{NE}{AN}=\frac{4}{3}$，
∴NE=$\frac{4}{3}$AN=$\frac{4}{3}$（$\frac{7t}{3}$-5）=$\frac{28t}{9}$-$\frac{20}{3}$，
∴S=S_{正方形NPQM}-S_△ANE=$（\frac{4t}{3}）^{2}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{7t}{3}$-5）（$\frac{28t}{9}$-$\frac{20}{3}$）=-$\frac{50}{27}{t}^{2}+\frac{140}{9}t-\frac{50}{3}$；
③當(dāng)$\frac{15}{4}$＜t＜15時，如圖7，
此時正方形PQMN與平行四邊形ABCD重疊部分是梯形APQE，
∵AP=5-t，EQ=5，PQ=$\frac{4t}{3}$，
∴S=S_梯形APQE=$\frac{1}{2}$（AP+EQ）•PQ，
=$\frac{1}{2}$（5-t+5）×$\frac{4t}{3}$，
=-$\frac{2}{3}{t}^{2}$+$\frac{20}{3}t$；
綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：
S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{16}{9}{t}^{2}（0＜t≤\frac{15}{7}）}\\{-\frac{50}{27}{t}^{2}+\frac{140}{9}t-\frac{50}{3}（\frac{15}{7}＜t≤\frac{15}{4}）}\\{-\frac{2}{3}{t}^{2}+\frac{20}{3}t（\frac{15}{4}＜t＜15）}\end{array}\right.$，
（4）設(shè)F運動時間為t′秒，
如圖8，BP′=4，P在邊AD上運動時，當(dāng)F與N重合時，
AP=t′-1，DF=5t′，PN=4，
由AP+PN+DN=10得：t′-1+4+5t′=10，
t′=$\frac{7}{6}$；
t=$\frac{7}{6}+4$═$\frac{31}{6}$
當(dāng)F與P第一次重合時，如圖9，
由AP+DF=10得：t′-1+5t′=10，
t′=$\frac{11}{6}$，
t=$\frac{11}{6}$+4=$\frac{35}{6}$，
∴點F從D到A運動時，在正方形PQMN的邊PN上時t的取值范圍是$\frac{31}{6}$≤t$≤\frac{35}{6}$；
當(dāng)F與P第二次重合時，如圖10，
此時PD=FD=20-5t′，AP=t′-1，
由AP+DF=10得：20-5t′+t′-1=10，
t′=$\frac{9}{4}$，
∴t=$\frac{9}{4}$+4=$\frac{25}{4}$，
當(dāng)F最后回到終點D時，t′=4，
當(dāng)F與N第二次重合時，如圖11，
FD=20-5t′，AP=t′-1，
由AP+PN+FD=10得：t′-1+4+20-5t′=10，
t′=$\frac{13}{4}$＜4，
∴t=$\frac{13}{4}$+4=$\frac{29}{4}$，
∴點F從A到D運動時，在正方形PQMN的邊PN上時t的取值范圍是$\frac{25}{4}$≤t$≤\frac{29}{4}$；
綜上所述，在正方形PQMN的邊PN上時t的取值范圍是$\frac{31}{6}$≤t$≤\frac{35}{6}$和$\frac{25}{4}$≤t$≤\frac{29}{4}$．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和判定、動點運動問題，以及重疊部分面積的求法，比較復(fù)雜，解決兩個問題是關(guān)鍵：①根據(jù)圖形正確表示點P的路程，②第四問中注意F的路線是：D-A-D，時間是4秒后，F(xiàn)開始運動．