Question

16．如圖，直線y=-$\frac{4}{3}$x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A、C和點B（-1，0）．
（1）求該二次函數(shù)的關系式；
（2）有兩動點D、E同時從點O出發(fā)，其中點D以每秒$\frac{3}{2}$個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運動，點E以每秒4個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運動，當D、E兩點相遇時，它們都停止運動．設D、E同時從點O出發(fā)t秒時，請問D、E兩點在運動過程中，是否存在DE∥OC，若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下設△ODE的面積為S求S關于t的函數(shù)關系式，并直接寫出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)直線AC的解析式求出A、C兩點的坐標，然后根據(jù)A、B、C三點的坐標用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）如果DE∥OC，此時點D，E應分別在線段OA，CA上，先求出這個區(qū)間t的取值范圍，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理，求出此時t的值，然后看t的值是否符合此種情況下t的取值范圍．如果符合則這個t的值就是所求的值，如果不符合，那么就說明不存在這樣的t．
（3）當E在OC上，D在OA上，即當0＜t≤1時，此時S=$\frac{1}{2}$OE•OD，由此可得出關于S，t的函數(shù)關系式；
當E在CA上，D在OA上，即當1＜t≤2時，此時S=$\frac{1}{2}$OD×E點的縱坐標．由此可得出關于S，t的函數(shù)關系式；
當E，D都在CA上時，即當2＜t＜$\frac{24}{11}$相遇時用的時間，此時S=S_△AOE-S_△AOD，由此可得出S，t的函數(shù)關系式；綜上所述，可得出不同的t的取值范圍內，函數(shù)的不同表達式．

解答 解：（1）令y=0，則x=3，
∴A（3，0），C（0，4），
∵二次函數(shù)的圖象過點C（0，4），
∴可設二次函數(shù)的關系式為y=ax²+bx+4．
又∵該函數(shù)圖象過點A（3，0），B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+4=0}\\{a-b+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$
∴所求二次函數(shù)的關系式為y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4．

（2）不存在DE∥OC
∵若DE∥OC，則點D，E應分別在線段OA，CA上，此時1＜t＜2，在Rt△AOC中，AC=5．
設點E的坐標為（x₁，y₁）
∴$\frac{{|x}_{1}|}{3}$=$\frac{4t-4}{5}$，
∴|x₁|$\frac{12t-12}{5}$
∵DE∥OC，
∴$\frac{12t-12}{5}$=$\frac{3}{2}$t
∴t=$\frac{8}{3}$
∵t=$\frac{8}{3}$＞2，不滿足1＜t＜2．
∴不存在DE∥OC．

（3）根據(jù)題意得D，E兩點相遇的時間為$\frac{3+4+5}{\frac{3}{2}+4}$=$\frac{24}{11}$（秒）
現(xiàn)分情況討論如下：
（�。┊�0＜t≤1時，S=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$t•4t=3t²；
（ⅱ）當1＜t≤2時，設點E的坐標為（x₂，y₂）
∴$\frac{|{y}_{2}|}{4}$=$\frac{5-（4t-4）}{5}$，|y₂|=$\frac{36-16t}{5}$∴
∴S=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$t×$\frac{36-16t}{5}$=-$\frac{12}{5}$t²+$\frac{27}{5}$t；
（ⅲ）當2＜t＜$\frac{24}{11}$時，
設點E的坐標為（x₃，y₃），類似ⅱ可得|y₃|=$\frac{36-16t}{5}$
設點D的坐標為（x₄，y₄）
∴$\frac{|{y}_{4}|}{4}$=$\frac{\frac{3}{2}t-3}{5}$，|y₄|=$\frac{6t-12}{5}$
∴S=S_△AOE-S_△AOD
=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{36-16t}{5}$-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{6t-12}{5}$
=-$\frac{33}{5}$t+$\frac{72}{5}$．
當0＜t≤1時，S=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$t•4t=3t²，函數(shù)的最大值是3；
當1＜t≤2時，S=-$\frac{12}{5}$t²+$\frac{27}{5}$t．函數(shù)的最大值是：$\frac{243}{80}$，
當2＜t＜$\frac{24}{11}$時，S=-$\frac{33}{5}$t+$\frac{72}{5}$，0＜S＜$\frac{6}{5}$，
∴S_最大=$\frac{243}{80}$．

點評 本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的應用等知識點，綜合性較強，考查學生分類討論，數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．