Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圖形W在坐標(biāo)軸上的投影長(zhǎng)度定義如下：設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是圖形W上的任意兩點(diǎn)．若|x₁-x₂|的最大值為m，則圖形W在x軸上的投影長(zhǎng)度l₁=M；若|y₁-y₂|的最大值為n，則圖形W在y軸上的投影長(zhǎng)度l_y=n．如圖1，圖形W在x軸上的投影長(zhǎng)度l_x=|3-1|=2；在y軸上的投影長(zhǎng)度l_y=|4-0|=4．
（1）已知點(diǎn)A（3，3），B（4，1）．如圖2所示，若圖形W為△OAB，則l_x4，l_y3．
（2）已知點(diǎn)C（4，0），點(diǎn)D在直線y=2x+6上，若圖形W為△OCD．當(dāng)l_x=l_y時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）若圖形W為函數(shù)y=x²（a≤x≤b）的圖象，其中0≤a＜b．當(dāng)該圖形滿足l_x=l_y≤1時(shí)，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）確定出點(diǎn)A在y軸的投影的坐標(biāo)、點(diǎn)B在x軸上投影的坐標(biāo)，于是可求得問(wèn)題的答案；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為P．設(shè)D（x，2x+6），則PD=|2x+6|．PC=|3-x|，然后依據(jù)l_x=l_y，列方程求解即可；
（3）設(shè)A（a，a²）、B（b，b²）．分別求得圖形在y軸和x軸上的投影，由l_x=l_y可得到b+a=1，然后根據(jù)0≤a＜b可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）∵A（3，3），
∴點(diǎn)A在y軸上的正投影的坐標(biāo)為（0，3）．
∴△OAB在y軸上的投影長(zhǎng)度l_y=3．
∵B（4，1），
∴點(diǎn)B在x軸上的正投影的坐標(biāo)為（4，0）．
∴△OAB在x軸上的投影長(zhǎng)度l_x=4．
故答案為：4；3．
（2）如圖1所示；過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為P．

設(shè)D（x，2x+6），則PD=2x+6．
∵PD⊥x軸，
∴P（x，0）．
∴PC=4-x．
∵l_x=l_y，
∴2x+6=4-x，解得；x=-$\frac{2}{3}$．
∴D（-$\frac{2}{3}$，$\frac{14}{3}$）．
如圖2所示：過(guò)點(diǎn)D作DP⊥x軸，垂足為P．

設(shè)D（x，2x+6），則PD=-2x-6．
∵PD⊥x軸，
∴P（x，0）．
∴PC=4-x．
∵l_x=l_y，
∴-2x-6=4-x，解得；x=-10．
∴D（-10，-14）．
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-$\frac{2}{3}$，$\frac{14}{3}$）或（-10，-14）．
（3）如圖3所示：

設(shè)A（a，a²）、B（b，b²）．則CE=b-a，DF=b²-a²=（b+a）（b-a）．
∵l_x=l_y，
∴（b+a）（b-a）=b-a，即（b+a-1）（b-a）=0．
∵b≠a，
∴b+a=1．
又∵0≤a＜b，
∴a+a＜1，
∴0≤a＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、解答本題主要應(yīng)用了圖形W在坐標(biāo)軸上的投影長(zhǎng)度定義、一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，依據(jù)l_x=l_y列出關(guān)于x的方程和不等式是解題的關(guān)鍵．