Question

2．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)為A、D（A在D的右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C，且A（4，0），C（0，-3），對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=1．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若M是第四象限拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為m，設(shè)四邊形OCMA的面積為s．請(qǐng)寫(xiě)出s與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形OCMA的面積最大；
（3）設(shè)點(diǎn)B是x軸上的點(diǎn)，P是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得以A，B、C，P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得到點(diǎn)D的總表，然后將A、C、D的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式可求得a、b、c的值，從而可得到二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)M（m，$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3），|y_M|=-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{3}{4}$m+3，由S=S_△ACM+S_△OAM可得到S與m的函數(shù)關(guān)系式，然后利用配方法可求得S的最大值；
（3）當(dāng)AB為平行四邊形的邊時(shí)，則AB∥PC，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-3，將y=-3代入拋物線(xiàn)的解析式可求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；當(dāng)AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，AB與CP互相平分，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，把y=3代入拋物線(xiàn)的解析式可求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵A（4，0），對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=l，
∴D（-2，0）．
又∵C（0，-3）
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{16a+4b+c=0}\\{4a-2b+c=0}\end{array}\right.$
解得．a(chǎn)=$\frac{3}{8}$，b=-$\frac{3}{4}$，c=-3，
∴二次函數(shù)解析式為：y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3．

（2）如圖1所示：

設(shè)M（m，$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3），|y_M|=-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{3}{4}$m+3，
∵S=S_△ACM+S_△OAM
∴S=$\frac{1}{2}$×OC×m+$\frac{1}{2}$×OA×|y_M|=$\frac{1}{2}$×3×m+$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{3}{8}$m²+$\frac{3}{4}$m+3）=-$\frac{3}{4}$m²+3m+6=-$\frac{3}{4}$（m-2）²+9，
當(dāng)m=2時(shí)，s最大是9．

（3）當(dāng)AB為平行四邊形的邊時(shí)，則AB∥PC，
∴PC∥x軸．
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-3．
將y=-3代入得：$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3=-3，解得：x=0或x=2．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3）．
當(dāng)AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)．
∵ABCP為平行四邊形，
∴AB與CP互相平分，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3．
把y=3代入得：$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3=3，整理得：x²-2x-16=0，解得：x=1+$\sqrt{17}$或x=1-$\sqrt{17}$．
綜上所述，存在點(diǎn)P（2，-3）或P（1+$\sqrt{17}$，3）或P（1-$\sqrt{17}$，3）使得以A，B、C，P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、配方法求二次函數(shù)的最值、平行四邊形的性質(zhì)，依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．