Question

9．如圖，直線y=kx+4（k≠0）與x軸，y軸分別交于點(diǎn)B，A，直線y=-2x+1與y軸交于點(diǎn)C，與直線y=kx+4交于點(diǎn)D，△ACD的面積$\frac{3}{2}$．
（1）求直線AB的表達(dá)式；
（2）設(shè)點(diǎn)E在直線AB上，當(dāng)△ACE是直角三角形時，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將x=0分別代入兩個一次函數(shù)表達(dá)式中求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，進(jìn)而即可得出AC的長度，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合△ACD的面積即可求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，由點(diǎn)D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的表達(dá)式；
（2）由直線AB的表達(dá)式即可得出△ACE為等腰直角三角形，分∠ACE=90°和∠AEC=90°兩種情況考慮，根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，此題得解．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時，y=kx+4=4，y=-2x+1=1，
∴A（0，4），C（0，1），
∴AC=3．
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•（-x_D）=-$\frac{3}{2}$x_D=$\frac{3}{2}$，
∴x_D=-1．
當(dāng)x=-1時，y=-2x+1=3，
∴D（-1，3）．
將D（-1，3）代入y=kx+4，
-k+4=3，解得：k=1．
∴直線AB的表達(dá)式為y=x+4．
（2）∵直線AB的表達(dá)式為y=x+4，
∴△ACE為等腰直角三角形．
當(dāng)∠ACE=90°時，∵A（0，4），C（0，1），AC=3，
∴E₁（-3，1）；
當(dāng)∠AEC=90°時，∵A（0，4），C（0，1），AC=3，
∴E₂（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．
綜上所述：當(dāng)△ACE是直角三角形時，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-3，1）或（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了兩條直線相交或平行問題、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、三角形的面積以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)△ACD的面積找出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）分∠ACE=90°和∠AEC=90°兩種情況，利用等腰直角三角形的性質(zhì)找出點(diǎn)E的坐標(biāo)．