Question

18．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，它的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，對(duì)角線BE在x軸上，若拋物線y=ax²+bx+c（a＞0，b＞0）經(jīng)過(guò)正六邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，則該拋物線的解析式為y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\sqrt{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 連接OC，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H，易知CG=OH=1，在Rt△COH中，由正六邊形的性質(zhì)可得∠COH=60°，通過(guò)解直角三角形即可求得CH的長(zhǎng)，也就得到了C點(diǎn)的坐標(biāo)；同理可求得B、F的坐標(biāo)，根據(jù)題意拋物線y=ax²+bx+c（a＞0，b＞0）經(jīng)過(guò)正六邊形的B、C、F三個(gè)頂點(diǎn)，然后用待定系數(shù)法即可求得該拋物線的解析式．

解答 解：設(shè)CD與y軸交于點(diǎn)G，連接OC，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為H；
由已知CD=2，得CG=1，CH=$\sqrt{3}$，∠COH=60°（正六邊形的性質(zhì)），
∴C（-1，-$\sqrt{3}$）；
同理F（1，$\sqrt{3}$），B（-2，0）；
∵拋物線y=ax²+bx+c（a＞0，b＞0）經(jīng)過(guò)正六邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，
∴拋物線y=ax²+bx+c（a＞0，b＞0）經(jīng)過(guò)正六邊形的B、C、F三個(gè)頂點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=-\sqrt{3}}\\{a+b+c=\sqrt{3}}\\{4a-2b+c=0}\end{array}\right.$，
解此方程組，得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{b=\sqrt{3}}\\{c=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$；
因此所求二次函數(shù)解析式是y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\sqrt{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²+$\sqrt{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了正六邊形的性質(zhì)及二次函數(shù)解析式的確定等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．