Question

6．定義：若拋物線L₂：y=mx²+nx（m≠0）與拋物線L₁：y=ax²+bx（a≠0）的開口大小相同，方向相反，且拋物線L₂經(jīng)過L₁的頂點，我們稱拋物線L₂為L₁的“友好拋物線”．
（1）若L₁的表達(dá)式為y=x²-2x，求L₁的“友好拋物線”的表達(dá)式；
（2）已知拋物線L₂：y=mx²+nx為L₁：y=ax²+bx的“友好拋物線”．求證：拋物線L₁也是L₂的“友好拋物線”；
（3）平面上有點P（1，0），Q（3，0），拋物線L₂：y=mx²+nx為L₁：y=ax²的“友好拋物線”，且拋物線L₂的頂點在第一象限，縱坐標(biāo)為2，當(dāng)拋物線L₂與線段PQ沒有公共點時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)L₁的“友好拋物線”的表達(dá)式為：y=-x²+bx，根據(jù)L₁：y=x²-2x可得其頂點坐標(biāo)，代入y=-x²+bx可得b的值，進而得出L₁的“友好拋物線”；
（2）先求出拋物線L₁和L₂的頂點坐標(biāo)，根據(jù)L₂過L₁ 的頂點，得出bn=0，進而得到拋物線L₁經(jīng)過L₂的頂點，再根據(jù)L₂與L₁的開口大小相同，方向相反，即可得出拋物線L₁也是L₂的“友好拋物線”；
（3）根據(jù)“友好拋物線”的定義，得到m=-a，進而得到L₂的頂點為（$\frac{n}{2a}$，$\frac{{n}^{2}}{4a}$）．根據(jù)拋物線L₂的頂點在第一象限，縱坐標(biāo)為2，可得a=$\frac{1}{8}$n²＞0．再根據(jù)L₂經(jīng)過點P（1，0），得到a=8．根據(jù)L₂經(jīng)過點Q（3，0），得到a=$\frac{8}{9}$．進而得出拋物線L₂與線段PQ沒有公共點時，a的取值范圍．

解答 解：（1）依題意，可設(shè)L₁的“友好拋物線”的表達(dá)式為：y=-x²+bx，
∵L₁：y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴L₁的頂點為（1，-1），
∵y=-x²+bx過點（1，-1），
∴-1=-1²+b，即b=0．
∴L₁的“友好拋物線”為：y=-x²．

（2）L₂：y=mx²+nx的頂點為（-$\frac{n}{2m}$，-$\frac{{n}^{2}}{4m}$），L₁：y=ax²+bx的頂點為（-$\frac{2a}$，-$\frac{^{2}}{4a}$），
∵L₂為L₁ 的“友好拋物線”，
∴m=-a．
∵L₂過L₁ 的頂點，
∴-$\frac{^{2}}{4a}$=m×（-$\frac{2a}$）²+n×（-$\frac{2a}$）．
化簡得：bn=0．
把x=-$\frac{n}{2m}$代入y=ax²+bx，得
y═a×（-$\frac{n}{2m}$）²+b×（-$\frac{n}{2m}$）=-$\frac{{n}^{2}}{4m}$-$\frac{bn}{2m}$=-$\frac{{n}^{2}}{4m}$．
∴拋物線L₁經(jīng)過L₂的頂點．
又∵L₂與L₁的開口大小相同，方向相反，
∴拋物線L₁也是L₂的“友好拋物線”．

（3）∵拋物線L₂：y=mx²+nx為L₁：y=ax²的“友好拋物線”，
∴m=-a．
∴L₂：y=-ax²+nx的頂點為（$\frac{n}{2a}$，$\frac{{n}^{2}}{4a}$）．
∵拋物線L₂的頂點在第一象限，縱坐標(biāo)為2，
∴$\frac{{n}^{2}}{4a}$=2，即a=$\frac{1}{8}$n²＞0．
當(dāng)L₂經(jīng)過點P（1，0）時，-a+n=0，
∴a=8．
當(dāng)L₂經(jīng)過點Q（3，0）時，-9a+3n=0，
∴a=$\frac{8}{9}$．
∴拋物線L₂與線段PQ沒有公共點時，0＜a＜$\frac{8}{9}$或a＞8．

點評 本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的運用，解題時根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．