Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=-$\frac{4}{3}$x+4與y軸、x軸分別交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)C是x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，當(dāng)AB=BC時(shí)，若點(diǎn)P是l上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上，當(dāng)以A，C，P，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P，N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 當(dāng)以A，C，P，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)．首先根據(jù)題意，分四種情況：①在平行四邊形ACP₁N₁中，設(shè)P₁（-2，y₁），代入y=-$\frac{4}{3}$x+4即可求得P₁的坐標(biāo)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求得N₁的坐標(biāo)；②在平行四邊形ACN₂P₂中，設(shè)P₂（2，y₂），代入y=-$\frac{4}{3}$x+4即可求得P₂的坐標(biāo)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求得N₂的坐標(biāo)；③在平行四邊形ACP₃N₃中，設(shè)P₃（x₃，-4），代入y=-$\frac{4}{3}$x+4即可求得P₃的坐標(biāo)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求得N₃的坐標(biāo)；④在平行四邊形AN₄CP₄中，根據(jù)P₁、N₂的坐標(biāo)即可求得P₄、N₄的坐標(biāo)．

解答 解：∵直線l：y=-$\frac{4}{3}$x+4與y軸、x軸分別交于點(diǎn)A、B，
∴A（0，4），B（3，0），
∴OA=4，OB=3，
∴AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∴AB=BC，
∴OC=2，
∴C（-2，0），
在平行四邊形ACP₁N₁中，設(shè)P₁（-2，y₁），代入y=-$\frac{4}{3}$x+4得y₁=$\frac{20}{3}$，
∴P₁C=$\frac{20}{3}$，
∴ON₁=4+$\frac{20}{3}$=$\frac{32}{3}$，
∴P₁（-2，$\frac{20}{3}$），N₁（0，$\frac{32}{3}$）；
在平行四邊形ACN₂P₂中，設(shè)P₂（2，y₂），代入y=-$\frac{4}{3}$x+4得y₂=$\frac{4}{3}$，
∵OA-y₂=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∴P₂（2，$\frac{4}{3}$），N₂（0，-$\frac{8}{3}$）；
在平行四邊形ACP₃N₃中，設(shè)P₃（x₃，-4），代入y=-$\frac{4}{3}$x+4得，-4=-$\frac{4}{3}$x₃+4
解得x₃=6，
∵DN₃=OC=2，
∴ON₃=6+2=8，
∴P₃（6，-4），N₃（8，0）；
在平行四邊形AN₄CP₄中，P₄（-2，$\frac{20}{3}$），N₄（0，-$\frac{8}{3}$）．
綜上，當(dāng)以A，C，P，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，$\frac{20}{3}$），N的坐標(biāo)為（0，$\frac{32}{3}$）或點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，$\frac{4}{3}$），N的坐標(biāo)為（0，-$\frac{8}{3}$）或點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，-4），N的坐標(biāo)為（8，0）或點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，$\frac{20}{3}$），N的坐標(biāo)為（0，-$\frac{8}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)綜合題，考查勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，函數(shù)關(guān)系式等知識(shí)點(diǎn)，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．