Question

3．反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$（x＞0，k≠0）的圖象進(jìn)過點(diǎn)（1，3），P點(diǎn)是直線y₂=-x+6上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖所示，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且滿足-m+6$＞\frac{3}{m}$，過P點(diǎn)分別作PB⊥x軸、PA⊥y軸，垂足分別為B、A，與雙曲線分別交于D、C兩點(diǎn)，連接OC、OD、CD．
（1）求k的值并結(jié)合圖象求出m的取值范圍；
（2）在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，求線段OC最短時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）將三角形OCD沿著CD翻折，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O′，得到四邊形O′COD，問：四邊形O′COD能否為菱形？若能，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先把（1，3）代入y₁=$\frac{k}{x}$求出k的值，再由兩函數(shù)有交點(diǎn)求出m的值，根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)線段OC最短可知OC為∠AOB的平分線，對(duì)于y₁=$\frac{3}{x}$，令x=y₁，即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，把y=$\sqrt{3}$代入y=-x+6中求出x的值即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）當(dāng)OC=OD時(shí)，四邊形O′COD為菱形，由對(duì)稱性得到△AOC≌△BOD，即OA=OB，由此時(shí)P橫縱坐標(biāo)相等且在直線y=-x+6上即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∴反比例函數(shù)y₁=$\frac{k}{x}$（x＞0，k≠0）的圖象進(jìn)過點(diǎn)（1，3），
∴把（1，3）代入y₁=$\frac{k}{x}$，解得k=3，
∵$\frac{3}{m}$=-m+6，
∴m=3±$\sqrt{6}$，
∴由圖象得：3-$\sqrt{6}$＜m＜3+$\sqrt{6}$；

（2）∵線段OC最短時(shí)，
∴OC為∠AOB的平分線，
∵對(duì)于y₁=$\frac{3}{x}$，令x=y₁，
∴x=$\sqrt{3}$，即C（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
∴把y=$\sqrt{3}$代入y=-x+6中，得：x=6-$\sqrt{3}$，即P（6-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）；

（3）四邊形O′COD能為菱形，
∵當(dāng)OC=OD時(shí)，四邊形O′COD為菱形，
∴由對(duì)稱性得到△AOC≌△BOD，即OA=OB，
∴此時(shí)P橫縱坐標(biāo)相等且在直線y=-x+6上，即x=-x+6，解得：x=3，即P（3，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，在解答此題時(shí)要注意利用數(shù)形結(jié)合求解．