Question

5．已知等腰Rt△ABC與等腰Rt△DBE，F(xiàn)為AE中點(diǎn)，G為CD中點(diǎn)，連結(jié)GF．判斷FG與DC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 延長ED交AC的延長線于M，連接FC、FD、FM，由四邊形BDMC是矩形，則BD=CM=DE．由于△DEB和△ABC都是等腰直角三角形，∠BED=∠A=45°，因此∠AEM=∠A=45°，得出△AEM是等腰直角三角形，F(xiàn)是斜邊AE的中點(diǎn)，因此MF=EF，∠AMF=∠BED=45°，那么這兩個(gè)角的補(bǔ)角也應(yīng)當(dāng)相等，由此可得出∠DEF=∠FMC，于是△DEF≌△CMF，可得到DF=FC，即△DFC是等腰三角形，根據(jù)△DEF≌△CMF，得出∠MFC=∠DFE，又∠MFC+∠CFE=90°，因此∠DFE+∠CFE=∠DFC=90°，得出△DFC是等腰直角三角形，所以FG⊥CD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$CD．

解答 FG⊥CD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$CD．
證明：延長ED交AC的延長線于M，連接FC、FD、FM，
∴四邊形BCMD是矩形．
∴CM=BD．
又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形
∴ED=BD=CM．
∵∠AEM=∠A=45°，
∴△AEM是等腰直角三角形．
又F是AE的中點(diǎn)，
∴MF⊥AE，EF=MF，∠EDF=∠MCF．
∵在△EFD和△MFC中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=MC}\\{∠DEF=∠CMF}\\{EF=MF}\end{array}\right.$，
∴△EFD≌△MFC．
∴FD=FC，∠EFD=∠MFC．
又∠EFD+∠DFM=90°，
∴∠MFC+∠DFM=90°．
即△CDF是等腰直角三角形，
又G是CD的中點(diǎn)，
∴FG⊥CD，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$CD．

點(diǎn)評 本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形來證明線段和角相等是解題的關(guān)鍵．