Question

9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，I為△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交BC于D，若OI⊥AD，則tan∠CAD的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 延長AD交⊙O于E，連接BE，BI，求出∠E=90°，根據(jù)內(nèi)心求出∠3=∠4，∠1=∠2，求出∠3=∠5，∠IBE=∠BIE，推出BE=IE，求出AE=2BE，解直角三角形求出tan∠CAD=tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}$，即可求出答案．

解答 解：
延長AD交⊙O于E，連接BE，BI，
則∠E=90°，
∵I為△ABC的內(nèi)心，
∴∠3=∠4，∠1=∠2（∠CAD=∠BAE），
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴∠2+∠5=∠1+∠3，
∴∠IBE=∠BIE，
∴BE=IE，
∵OI⊥AE，OI過O，
∴AE=2AI，
∴AE=2BE，
∴tan∠CAD=tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{BE}{2BE}$=$\frac{1}{2}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，三角形的外接圓和外心，垂徑定理，圓周角定理，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，正確作出輔助線后求出AE=2BE是解此題的關(guān)鍵，有一定的難度．