Question

10．研究所對某種新型產(chǎn)品的產(chǎn)銷情況進(jìn)行了研究，為投資商在甲、乙兩地生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品提供了如下成果：第一年的年產(chǎn)量為x（噸）時(shí)，所需的全部費(fèi)用y（萬元）與x滿足關(guān)系式y(tǒng)=$\frac{1}{10}{x^2}$+5x+90，投入市場后當(dāng)年能全部售出，且在甲、乙兩地每噸的售價(jià)p_甲、p_乙（萬元）均與x滿足一次函數(shù)關(guān)系．（注：年利潤=年銷售額-全部費(fèi)用）
（1）成果表明，在甲地生產(chǎn)并銷售x噸時(shí)，p_甲=-$\frac{1}{20}$x+14，請你用含x的代數(shù)式表示甲地當(dāng)年的年銷售額，并求年利潤w_甲（萬元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）成果表明，在乙地生產(chǎn)并銷售x噸時(shí)，p_乙=-$\frac{1}{10}$x+n（n為常數(shù)），且在乙地當(dāng)年的最大年利潤為35萬元．試確定n的值．
（3）受資金、生產(chǎn)能力等多種因素的影響，某投資商計(jì)劃第一年生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品18噸，根據(jù)（1），（2）中的結(jié)果，請你通過計(jì)算幫他決策，選擇在甲地還是乙地產(chǎn)銷才能獲得較大的年利潤？

Answer 1

分析 （1）依據(jù)年利潤=年銷售額-全部費(fèi)用即可求得利潤W_甲（萬元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求出利潤W_乙（萬元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)最大年利潤為35萬元．求出n的值；
（3）分別求出x=18時(shí)，W_甲和W_乙的值，通過比較W_甲和W_乙大小就可以幫助投資商做出選擇．

解答 解：（1）甲地當(dāng)年的年銷售額為（-$\frac{1}{20}$x+14）•x=（-$\frac{1}{20}$x²+14x）萬元；
w_甲=（-$\frac{1}{20}$x²+14x）-（$\frac{1}{10}$x²+5x+90）=-$\frac{3}{20}$x²+9x-90．
（2）在乙地區(qū)生產(chǎn)并銷售時(shí)，年利潤：
w_乙=-$\frac{1}{10}$x²+nx-（$\frac{1}{10}$x²+5x+90）=-$\frac{1}{5}$x²+（n-5）x-90．
由$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=35，
解得n=15或-5．
經(jīng)檢驗(yàn)，n=-5不合題意，舍去，
∴n=15．
（3）在乙地區(qū)生產(chǎn)并銷售時(shí)，年利潤：
w_乙=-$\frac{1}{5}$x²+10x-90，
將x=18代入上式，得w_乙=25.2（萬元）；
將x=18代入w_甲=-$\frac{3}{20}$x²+9x-90，
得w_甲=23.4（萬元）．
∵W_乙＞W(wǎng)_甲，
∴應(yīng)選乙地．

點(diǎn)評 考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，本題是一道最佳方案選擇題，通過計(jì)算、比較同一個(gè)自變量的兩個(gè)函數(shù)值的大小來選擇最佳方案．依據(jù)年利潤=年銷售額-全部費(fèi)用即可求得利潤W_甲（萬元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式及利潤W_乙（萬元）與x之間的函數(shù)關(guān)系式，分別求出x=18時(shí)，W_甲和W_乙的值，通過比較W_甲和W_乙大小就可以幫助投資商做出選擇．