Question

2．如圖所示，四邊形ABCD中，∠A=75°，∠B=60°，∠C=135°，AD=DC=$\sqrt{2}$，M是AB中點(diǎn)，求DM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)CD至E，使DE=CD，由已知條件得出DE=AD=$\sqrt{2}$，由四邊形內(nèi)角和定理求出∠ADC=90°，得出△ADC是等腰直角三角形，得出AC=$\sqrt{2}$AD=2，∠DAC=45°，證出△ADE是等腰直角三角形，得出AE=$\sqrt{2}$AD=2，∠DAE=45°，求出BC=$\frac{1}{2}$AC=1，證明AE∥BC，得出四邊形ABCE是梯形，證出DM是梯形ABCE的中位線(xiàn)，由梯形中位線(xiàn)定理即可求出DM的長(zhǎng)．

解答 解：延長(zhǎng)CD至E，使DE=CD，連接AE，如圖所示
∵AD=DC=$\sqrt{2}$，
∴DE=AD=$\sqrt{2}$，
∵四邊形ABCD中，∠A=75°，∠B=60°，∠C=135°，
∴∠ADC=90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，∠ADE=90°，
∴AC=$\sqrt{2}$AD=2，∠DAC=45°，∠ADE=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=30°，
∴AE=$\sqrt{2}$AD=2，∠DAE=45°，BC=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴∠BAE=45°+75°=120°，
∴∠BAE+∠B=180°，
∴AE∥BC，
即四邊形ABCE是梯形，
又∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴DM是梯形ABCE的中位線(xiàn)，
∴DM=$\frac{1}{2}$（AE+BC）=$\frac{1}{2}$（2+1）=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、梯形的判定、梯形中位線(xiàn)定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，需要通過(guò)作輔助線(xiàn)運(yùn)用梯形中位線(xiàn)定理才能得出結(jié)果．