Question

14．如圖1，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A（0，3）、B（-1，0）、D（2，3），拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為E．經(jīng)過點(diǎn)E的直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等的兩部分，與拋物線交于另一點(diǎn)F．點(diǎn)P為直線l上方拋物線上一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)t何值時，△PFE的面積最大？并求最大值的立方根；
（3）是否存在點(diǎn)P使△PAE為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）由A、C坐標(biāo)可求得平行四邊形的中心的坐標(biāo)，由拋物線的對稱性可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得直線EF的解析式，作PH⊥x軸，交直線l于點(diǎn)M，作FN⊥PH，則可用t表示出PM的長，從而可表示出△PEF的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；
（3）由題意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°兩種情況，當(dāng)∠PAE=90°時，作PG⊥y軸，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；當(dāng)∠APE=90°時，作PK⊥x軸，AQ⊥PK，則可證得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．

解答 解：
（1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{a-b+c=0}\\{4a+2b+c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3；
（2）∵A（0，3），D（2，3），
∴BC=AD=2，
∵B（-1，0），
∴C（1，0），
∴線段AC的中點(diǎn)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∵直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等兩部分，
∴直線l過平行四邊形的對稱中心，
∵A、D關(guān)于對稱軸對稱，
∴拋物線對稱軸為x=1，
∴E（3，0），
設(shè)直線l的解析式為y=kx+m，把E點(diǎn)和對稱中心坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}k+m=\frac{3}{2}}\\{3k+m=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{5}}\\{m=\frac{9}{5}}\end{array}\right.$，
∴直線l的解析式為y=-$\frac{3}{5}$x+$\frac{9}{5}$，
聯(lián)立直線l和拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{5}x+\frac{9}{5}}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{5}}\\{y=\frac{51}{25}}\end{array}\right.$，
∴F（-$\frac{2}{5}$，$\frac{51}{25}$），
如圖1，作PH⊥x軸，交l于點(diǎn)M，作FN⊥PH，

∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，
∴P（t，-t²+2t+3），M（t，-$\frac{3}{5}$t+$\frac{9}{5}$），
∴PM=-t²+2t+3-（-$\frac{3}{5}$t+$\frac{9}{5}$）=-t²+$\frac{13}{5}$t+$\frac{6}{5}$，
∴S_△PEF=S_△PFM+S_△PEM=$\frac{1}{2}$PM•FN+$\frac{1}{2}$PM•EH=$\frac{1}{2}$PM•（FN+EH）=$\frac{1}{2}$（-t²+$\frac{13}{5}$t+$\frac{6}{5}$）（3+$\frac{2}{5}$）=-$\frac{17}{10}$（t-$\frac{13}{10}$）+$\frac{289}{100}$×$\frac{17}{10}$，
∴當(dāng)t=$\frac{13}{10}$時，△PEF的面積最大，其最大值為$\frac{289}{100}$×$\frac{17}{10}$，
∴最大值的立方根為$\root{3}{\frac{289}{100}×\frac{17}{10}}$=$\frac{17}{10}$；
（3）由圖可知∠PEA≠90°，
∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，
①當(dāng)∠PAE=90°時，如圖2，作PG⊥y軸，

∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=45°，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴PG=AG，
∴t=-t²+2t+3-3，即-t²+t=0，解得t=1或t=0（舍去），
②當(dāng)∠APE=90°時，如圖3，作PK⊥x軸，AQ⊥PK，

則PK=-t²+2t+3，AQ=t，KE=3-t，PQ=-t²+2t+3-3=-t²+2t，
∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，
∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，
∴△PKE∽△AQP，
∴$\frac{PK}{AQ}$=$\frac{KE}{PQ}$，即$\frac{-{t}^{2}+2t+3}{t}$=$\frac{3-t}{-{t}^{2}+2t}$，即t²-t-1=0，解得t=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或t=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜-$\frac{5}{2}$（舍去），
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，t的值為1或$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數(shù)示的應(yīng)用，在（2）中用t表示出△PEF的面積是解題的關(guān)鍵，在（3）中分兩種情況，分別利用等腰直角三角形和相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量較大，難度較大．