Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線c₁：y=ax²-4a+4（a＜0）經(jīng)過第一象限內(nèi)的定點(diǎn)P
（1）直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若a=-1，如圖1，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）是x軸上的點(diǎn)，N為拋物線c₁上的點(diǎn)，Q為線段MN的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N在拋物線c₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線c₂，求拋物線c₂的解析式；
（3）直線y=2x+b與拋物線c₁相交于A、B兩點(diǎn)，如圖2，直線PA、PB與x軸分別交于D、C兩代女．當(dāng)PD=PC時(shí)，求a的值．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)P為定點(diǎn)，則定點(diǎn)P的坐標(biāo)與a無關(guān)；
（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x_Q，y_Q），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x_N，y_N）．根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)得到：x_N=2x_Q-2，y_N=2y_Q．所以把點(diǎn)N的坐標(biāo)代入拋物線c₁的解析式得到y(tǒng)_N=-x_N²+8．以點(diǎn)N的坐標(biāo)表示點(diǎn)Q，則將其代入拋物線c₁的解析式得到：拋物線c₂的解析式為y=-2x²+4x+2；
（3）設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（x₁，ax₁²-4a+4）、B（x₂，ax₂²-4a+4）．如圖，過點(diǎn)B作BG∥y軸，過點(diǎn)P作PG∥x軸，BG、PG相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AH∥x軸，過點(diǎn)P作PH∥y軸，AH、PH相交于點(diǎn)H．通過相似三角形Rt△PGB∽R(shí)t△AHP的對(duì)應(yīng)邊成比例得到 $\frac{BG}{PG}$=$\frac{PH}{AH}$，即$\frac{2-{x}_{2}}{a{{x}_{2}}^{2}-4a}$=$\frac{2-{x}_{1}}{-（a{{x}_{1}}^{2}-4a）}$，則a（x₁+x₂）=-4a=2；

解答 解：（1）∵y=ax²-4a+4=a（x²-4）+4，該函數(shù)圖象過第一象限內(nèi)的定點(diǎn)P，
∴x²-4=0，
解得 x=2或x=-2（舍去），
則y=4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，4）；

（2）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x_Q，y_Q），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x_N，y_N）．
∵M(jìn)（2，0）．
由點(diǎn)Q是線段MN的中點(diǎn)，可以求得，x_N=2x_Q-2，y_N=2y_Q．
∵a=-1，
∴拋物線c₁的解析式為y=-x²+8．
∵點(diǎn)N在拋物線c₁上，
∴y_N=-x_N²+8．
∴2y_Q=-（2x_Q-2）²+8，即y_Q=-2x_Q²+4x_Q+2，
∴拋物線c₂的解析式為：y=-2x²+4x+2．

（3）設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（x₁，ax₁²-4a+4）、B（x₂，ax₂²-4a+4）．
又∵點(diǎn)A、B在直線y=2x+b上，
∴a（x₁+x₂）=2．
如圖，過點(diǎn)B作BG∥y軸，過點(diǎn)P作PG∥x軸，BG、PG相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AH∥x軸，過點(diǎn)P作PH∥y軸，AH、PH相交于點(diǎn)H．
∵PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD．
∵AH∥x軸，
∴∠PAH=∠PDC．
同理，∠BPG=∠PCD，
∴∠AHP=∠PGB，
∴Rt△PGB∽R(shí)t△AHP，
∴$\frac{BG}{PG}$=$\frac{PH}{AH}$，即$\frac{2-{x}_{2}}{a{{x}_{2}}^{2}-4a}$=$\frac{2-{x}_{1}}{-（a{{x}_{1}}^{2}-4a）}$，
∴x₁+x₂=-4，
∴a=-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判斷與性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．解答（2）題的技巧性在于用點(diǎn)Q的坐標(biāo)表示點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)N的坐標(biāo)代入其所在拋物線的解析式，通過化簡(jiǎn)可以求得拋物線c₂的解析式．