Question

18．如圖，平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，AB=AC，延長BC到點(diǎn)E，使CE=BC，連接AE，分別交BD、CD于點(diǎn)F、G．
（1）求證：△ADB≌△CEA；
（2）若BD=9，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC，∠ABC+∠BAD=180°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB．證出∠BAD=∠ACE，CE=AD，由SAS證明△ADB≌△CEA即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出AE=BD=6，由平行線得出△ADF∽△EBF，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，∠ABC+∠BAD=180°．        
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠BAD=∠ACE．
∵CE=BC，
∴CE=AD，
在△ABE和△CEA中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=AD}&{\;}\\{∠BAD=∠ACE}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（SAS）．                

（2）解：∵△ADB≌△CEA，
∴AE=BD=9．   
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF．     
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AD}{BE}$=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{AF}{AE}$=$\frac{1}{3}$．       
∴AF=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．