Question

19．如圖，已知一次函數(shù)y=-2x+b的圖象與x軸、y軸分別交于B，A兩點，與反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）交于C，D兩點．
（1）若點D的坐標(biāo)為（2，m），則m=2，b=6；
（2）在（1）的條件下，通過計算判斷AC與BD的數(shù)量關(guān)系；
（3）若在一次函數(shù)y=-2x+b與反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象第一象限始終有兩個交點的前提下，不論b為何值，（2）中AC與BD的數(shù)量關(guān)系是否恒成立？試說明理由．

Answer 1

分析 （1）把D點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求得m的值，再代入一次函數(shù)解析式則可求得b的值；
（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式可求得C、D的坐標(biāo)，過C、D分別作CG⊥OA，DH⊥OB，可證得△AGC≌△DHB，可證得AC=BD；
（3）聯(lián)立兩函數(shù)解析式消去y可得到2x²-bx+4=0，由根與系數(shù)的關(guān)系可求x_C+x_D=$\frac{2}$=OB，可求得CG=HB，同（2）可證得△AGC≌△DHB，可得AC=DB．

解答 解：
（1）∵D點在反比例函數(shù)圖象上，
∴2m=4，解得m=2，
∴D（2，2）
∵D點在一次函數(shù)圖象上，
∴2=-2×2+b，解得b=6，
故答案為：2；6；

（2）相等．
聯(lián)立兩函數(shù)解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+6}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C（1，4），D（2，2），
如圖，作CG⊥OA，DH⊥OB，

在y=-2x+6中，令x=0可得y=6，
∴AO=6，
∴AG=AO-OG=2=DH，
∵CG∥OB，
∴∠ACG=∠DBH，
在△AGC和△DHB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGC=∠DHB}\\{∠ACG=∠DBH}\\{AG=DH}\end{array}\right.$
∴△AGC≌△DHB（AAS），
∴AC=BD；

（3）恒成立．理由如下：
聯(lián)立兩函數(shù)解析式，消去y可得2x²-bx+4=0，
∴x_C+x_D=CG+OH=$\frac{2}$，
在y=-2x+b中，令y=0可求得x=$\frac{2}$，
∴OB=$\frac{2}$，
∴CG+OH=OB，
∴CG=HB，
同（2）可得△AGC≌△DHB，
∴AC=BD．

點評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象的交點、全等三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識．在（1）中注意函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)滿足每一個函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得AG=DH，證得△ACG≌△DHB是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得CG=HB是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．