Question

15．如圖，⊙O與正方形ABCD的兩邊AB、AD相切，且DE與⊙O相切于E點(diǎn)．若正方形ABCD的周長(zhǎng)為28，且DE=4，則sin∠ODE=$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 先證得四邊形ANOM是正方形，求出AM長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求得OD的長(zhǎng)，根據(jù)解直角三角形求出即可．

解答 解：設(shè)切線AD的切點(diǎn)為M，切線AB的切點(diǎn)為N，連接OM、ON、OE，
∵四邊形ABCD是正方形，正方形ABCD的周長(zhǎng)為28，
∴AD=AB=7，∠A=90°，
∵圓O與正方形ABCD的兩邊AB、AD相切，
∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A，
∵OM=ON，
∴四邊形ANOM是正方形，
∵AD和DE與圓O相切，
∴OE⊥DE，DM=DE=4，
∴AM=7-4=3，
∴OM=ON=OE=3，
在RT△ODM中，OD=$\sqrt{O{M}^{2}+D{M}^{2}}$=5，
∵OE=OM=5，
∴sin∠ODE=$\frac{OE}{OD}$=$\frac{3}{5}$．
故答案為$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AM長(zhǎng)和得出DE=DM．