Question

7．我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形，如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點，可證中點四邊形EFGH是平行四邊形，如果我們對四邊形ABCD的對角線AC與BD添加一定的條件，則可使中點四邊形EFGH成為特殊的平行四邊形，請你經(jīng)過探究后回答下面問題？
（1）①當(dāng)AC=BD時，四邊形EFGH為菱形；
    ②當(dāng)AC⊥BD時，四邊形EFGH為矩形．
（2）當(dāng)AC和BD滿足什么條件時，四邊形EFGH為正方形？請回答并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）證明GH是△ACD的中位線，得出GH∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，同理：EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，GF∥BD，GF=$\frac{1}{2}$BD，得出GH∥EF，GH=EF，證出四邊形EFGH是平行四邊形，再證出EF=GF，即可得出結(jié)論；
②同①得：四邊形EFGH是平行四邊形，由AC⊥BD，證出∠HGF=90°，得出四邊形EFGH為矩形；
（2）由AC=BD得出四邊形EFGH為菱形；由AC⊥BD得出四邊形EFGH為矩形，即可得出四邊形EFGH為正方形．

解答 （1）解：①當(dāng)AC=BD時，四邊形EFGH為菱形；理由如下：
∵G、H分別是四邊形CD、AD的中點，
∴GH是△ACD的中位線，
∴GH∥AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，
同理：EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，GF∥BD，GF=$\frac{1}{2}$BD，
∴GH∥EF，GH=EF，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
又∵AC=BD，
∴EF=GF，
∴四邊形EFGH是菱形；
故答案為：AC=BD；
②當(dāng)AC⊥BD時，四邊形EFGH為矩形；理由如下：
同①得：四邊形EFGH是平行四邊形，
∵AC⊥BD，GH∥AC，
∴GH⊥BD，
∵GF∥BD，
∴GH⊥GF，
∴∠HGF=90°，
∴四邊形EFGH為矩形；
故答案為：AC⊥BD；
（2）解：當(dāng)AC=BD，AC⊥BD時，四邊形EFGH為正方形；理由如下：
當(dāng)AC=BD時，由①得：四邊形EFGH為菱形；
當(dāng)AC⊥BD時，由②得：四邊形EFGH為矩形；
∴四邊形EFGH為正方形．

點評 本題考查了中點四邊形、平行四邊形的判定、矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定方法；熟練掌握三角形中位線定理，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．