Question

15．操作：
已知矩形ABCD中，AB=5cm，AD=2cm．作如下折疊操作：如圖①和圖②所示，在邊AB上取點M，在邊AD或邊DC上取點P，連結(jié)MP，將△AMP或四邊形AMPD沿著直線MP折疊得到△A′MP或四邊形A′MPD′，點A的落點為點A′，點D的落點為點D′．

探究：（1）如圖①，若AM=4cm，點P在AD上，點A′落在DC上，求∠MA′C的度數(shù)；
（2）如圖②，若AM=2.5cm．
①點P在DC上，點A′落在DC上，求線段DP的長；
②若點P由A開始，沿A→D→C方向，在AD、DC邊上運動．設(shè)點P的運動速度為1cm/s，運動時間為ts，當(dāng)邊MA′與線段DC有交點時，直接寫出t的取值范圍1.25≤t≤3.5．
發(fā)現(xiàn)：
（3）若點M在線段AB上移動，點P為線段AD或DC邊上的任意點，隨著點M位置的不同，按操作要求折疊后，點A的落點A′的位置會出現(xiàn)以下三種不同的情況：①不會落在線段DC上；②只有一次落在線段DC上；③會有兩次落在線段DC上．
求：在②③的情況下，AM的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出三角形全等，進而分析AM=A′M=8=2MN，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）①根據(jù)矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)得出∠A′PM=∠A′MP，再利用等角對等邊得出等腰三角形，根據(jù)等腰三角形中邊之間的關(guān)系得出線段的長度即可；
②根據(jù)勾股定理得出t的取值范圍；
（3）利用矩形的性質(zhì)作圖進行解答．

解答 解：（1）過點M作MN⊥DC，如圖1：

∵四邊形ABCD是矩形，
∴MN=BC=2，
∵將△AMP沿著直線MP折疊得到△A′MP，
∴AM=A′M=4=2MN，
∴在Rt△A′MN中，∠MA′C=30°；
（2）①∵A′P與AM是矩形ABCD的對邊CD，AB的一部分，
∴A′P∥AM，
∴∠A′PM=∠AMP，
由翻折的性質(zhì)得：∠AMP=∠A′MP，
∴∠A′PM=∠A′MP，
∴A′P=A′M，
∴△MA′P是等腰三角形；
∴PM=AM=A′M=2.5，
∵DA=2，
∴DP=2.5-2=0.5
∴線段DP的長是0.5cm；
②當(dāng)點P在AD上，點A′落在DC上時，如圖1所示，
過點M作MN⊥DC交DC于點N，
則四邊形AMND為矩形，DN=AM=2.5cm，MN=2cm，
設(shè)AP為xcm，則由翻折的性質(zhì)得：
AM=A′M=2.5cm，AP=A′P=xcm，
在Rt△A′MN中，A′N=$\sqrt{2．{5}^{2}-{2}^{2}}=1.5$cm，
∴DA′=DN-A′N=2.5-1.5=1（cm），
在Rt△A′PD中，
A′P²=A′D²+PD²，
即：x²=1²+（2-x）²，
解得：x=1.25，
此時t=1.25s；
當(dāng)點P在DC上，點A′落在DC上時，如圖1，
可知DP=1.5cm，此時，t=3.5s，
當(dāng)MA′與DC有交點時，t的取值范圍是：1.25≤t≤3.5；
故答案為：1.25≤t≤3.5；
（3）當(dāng)點A′到邊AB的距離最大時，
即A′M⊥AB時，t的值為2.5s，
發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點A的落點A′，在以M為圓心，MA為半徑的圓上，當(dāng)圓M與線段CD有唯一交點時，如圖2所示，

此時AM=2cm，
當(dāng)圓M交線段CD于點C時，如圖3所示

AM=2.9cm，
所以：2＜AM≤2.9．

點評 此題考查幾何變換問題，用到的知識點是等腰三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵是利用折疊的前后圖形全等進行分析，同時利用矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)進行解答．