Question

5．聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心．如圖1，若PA=PB，則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)外心．
（1）如圖2，在△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10．D是AC上一點(diǎn)（非中點(diǎn)），且D是△ABC的一個(gè)準(zhǔn)外心，求CD的長．
（2）如圖3，在（1）的條件下，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D．求證：$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AB}{BC}$．
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是△ABC的一個(gè)準(zhǔn)外心，且點(diǎn)P在直線BD上，在圖4中作出點(diǎn)P并求出BP的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)D是△ABC的一個(gè)準(zhǔn)外心，于是分三種情況：①若DB=DA，設(shè)DA=DB=x，則x²=6²+（8-x）²，即可求得CD=8-$\frac{25}{4}$=$\frac{7}{4}$，②若DA=DC，即可求得結(jié)果；③若DC=DB，由圖知，P在AB上，不可能在AC上；
（2）如圖3，過C作CE∥AB交BD的延長線于E，則∠E=∠ABD，由于BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠CBD，等量代換得到∠E=∠CBD，推出CE=BC，由△ABD∽△CED，即可得到結(jié)論；
（3）如圖4，分兩種情況：①作線段AB的垂直平分線交AB于E，交BD于P，則點(diǎn)P即為所求，推出△PEB∽△BCD，得到比例式$\frac{BE}{BC}=\frac{BP}{BD}$，代入有關(guān)數(shù)據(jù)即可求得PB=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，②作線段BC的垂直平分線交BC于F，交BD于P′，則點(diǎn)P′即為所求，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可得結(jié)果．

解答 解：（1）∵BC=6，AB=10，AC=8，D是△ABC的一個(gè)準(zhǔn)外心，
①若DB=DA，設(shè)DA=DB=x，則x²=6²+（8-x）²，
∴x=$\frac{25}{4}$，即DA=$\frac{25}{4}$，
∴CD=8-$\frac{25}{4}$=$\frac{7}{4}$，
②若DA=DC，則DA=DC=$\frac{1}{2}$AC=4，
③若DC=DB，由圖知，P在AB上，不可能在AC上．
故DC=4或$\frac{7}{4}$；

（2）如圖3，過C作CE∥AB交BD的延長線于E，
則∠E=∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠E=∠CBD，
∴CE=BC，
∵CE∥AB，
∴△ABD∽△CED，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{CE}$，
即$\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}$；

（3）如圖4，作線段AB的垂直平分線交AB于E，交BD于P，
則點(diǎn)P即為所求，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠PEB=∠C=90°，
∴△PEB∽△BCD，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{BP}{BD}$，
由（2）知$\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}$，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{10}{6}$=$\frac{5}{3}$，
∴AD=5，CD=3，
∴BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵BE=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴$\frac{5}{6}=\frac{PB}{3\sqrt{5}}$，
∴PB=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
作線段BC的垂直平分線交BC于F，交BD于P′，
則點(diǎn)P′即為所求，
∴P′F∥CD，
∴P′B=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，讀懂題意，弄清楚準(zhǔn)外心的定義是解題的關(guān)鍵．