Question

17．如圖，△ABC中，D為AB的中點，AD=5厘米，∠B=∠C，BC=8厘米．
（1）若點P在線段BC上以3厘米/秒的速度從點B向終點C運(yùn)動，同時點Q在線段CA上從點C向終點A運(yùn)動，
①若點Q的速度與點P的速度相等，經(jīng)1秒鐘后，請說明△BPD≌△CQP；
②點Q的速度與點P的速度不相等，當(dāng)點Q的速度為多少時，能夠使△BPD≌△CPQ；
（2）若點P以3厘米/秒的速度從點B向點C運(yùn)動，同時點Q以5厘米/秒的速度從點C向點A運(yùn)動，它們都依次沿△ABC三邊運(yùn)動，則經(jīng)過多長時間，點Q第一次在△ABC的哪條邊上追上點P？

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，再加上BP=CQ=3，PC=BD=5，則可判斷△BPD與△CQP全等；
②設(shè)點Q的運(yùn)動速度為xcm/s，則BP=3t，CQ=xt，CP=8-3t，當(dāng)△BPD≌△CQP，則BP=CQ，CP=BD；然后分別建立關(guān)于t和v的方程，再解方程即可；
（2）設(shè)經(jīng)過x秒后，點Q第一次追上點P，由題意得5x-3x=2×10，解方程得到點P運(yùn)動的路程為3×10=30，得到此時點P在BC邊上，于是得到結(jié)果．

解答 解：（1）①∵BP=3×1=3，CQ=3×1=3，
∴BP=CQ，
∵D為AB的中點，
∴BD=AD=5，
∵CP=BC-BP=5，
∴BD=CP，
在△BPD與△CQP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CP}\\{∠B=∠C}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CQP；
②設(shè)點Q運(yùn)動時間為t秒，運(yùn)動速度為vcm/s，
∵△BPD≌CPQ，
∴BP=CP=4，CQ=5，
∴t=$\frac{BP}{3}=\frac{4}{3}$，
∴v=$\frac{CQ}{t}$=$\frac{5}{\frac{4}{3}}$=$\frac{15}{4}$；

（2）設(shè)經(jīng)過x秒后，點Q第一次追上點P，由題意得5x-3x=2×10，
解得：x=10，
∴點P運(yùn)動的路程為3×10=30，
∵30=28+2，
∴此時點P在BC邊上，
∴經(jīng)過10秒，點Q第一次在BC邊上追上點P．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，找準(zhǔn)對應(yīng)邊是解題的關(guān)鍵．