Question

20．如圖1，在△ABC中，設(shè)∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，會(huì)有sin∠C=$\frac{AD}{AC}$，則
S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC×AD=$\frac{1}{2}$×BC×ACsin∠C=$\frac{1}{2}$absin∠C，
即S_△ABC=$\frac{1}{2}$absin∠C
同理S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin∠A
S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsin∠B
通過(guò)推理還可以得到另一個(gè)表達(dá)三角形邊角關(guān)系的定理-余弦定理：
如圖2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，則
a²=b²+c²-2bccos∠A
b²=a²+c²-2accos∠B
c²=a²+b²-2abcos∠C
用上面的三角形面積公式和余弦定理解決問(wèn)題：
（1）如圖3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的對(duì)邊分別是3和8．求S_△DEF和DE²．
解：S_△DEF=$\frac{1}{2}$EF×DFsin∠F=6$\sqrt{3}$；
DE²=EF²+DF²-2EF×DFcos∠F=49．
（2）如圖4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分別是以AB、BC、AC為邊長(zhǎng)的等邊三角形，設(shè)△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄，求證：S₁+S₂=S₃+S₄．

Answer 1

分析 （1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出結(jié)論；
（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面積公式，再利用等邊三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
方法2、先用正弦定理得出S₁，S₂，S₃，S₄，最后用余弦定理即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的對(duì)邊分別是3和8，
∴EF=3，DF=8，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$EF×DFsin∠F=$\frac{1}{2}$×3×8×sin60°=6$\sqrt{3}$，
DE²=EF²+DF²-2EF×DFcos∠F=3²+8²-2×3×8×cos60°=49，
故答案為：6$\sqrt{3}$，49；

（2）證明：方法1，∵∠ACB=60°，
∴AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos60°=AC²+BC²-AC•BC，
兩邊同時(shí)乘以$\frac{1}{2}$sin60°得，$\frac{1}{2}$AB²sin60°=$\frac{1}{2}$AC²sin60°+$\frac{1}{2}$BC²sin60°-$\frac{1}{2}$AC•BCsin60°，
∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等邊三角形，
∴S₁=$\frac{1}{2}$AC•BCsin60°，S₂=$\frac{1}{2}$AB²sin60°，S₃=$\frac{1}{2}$BC²sin60°，S₄=$\frac{1}{2}$AC²sin60°，
∴S₂=S₄+S₃-S₁，
∴S₁+S₂=S₃+S₄，

方法2、令∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，
∴S₁=$\frac{1}{2}$absin∠C=$\frac{1}{2}$absin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab
∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等邊三角形，
∴S₂=$\frac{1}{2}$c•c•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²，S₃=$\frac{1}{2}$a•a•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，S⁴=$\frac{1}{2}$b•b•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²，
∴S₁+S₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（ab+c²），S₃+S₄=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（a²+b²），
∵c²=a²+b²-2ab•cos∠C=a²+b²-2ab•cos60°，
∴a²+b²=c²+ab，
∴S₁+S₂=S₃+S₄．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了新定義的理解和應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是理解新定義，會(huì)用新定義解決問(wèn)題．