Question

2．如圖，拋物線y=ax²+bx+2與x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與過點(diǎn)C且平行于x軸的直線交于另一點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△CDP的面積為$\frac{9}{2}$？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）點(diǎn)E是x軸上一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以A，E，D，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法可得出拋物線的解析式，令y=2可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）可先求得CD的長(zhǎng)，由△CDP的面積可求得P到CD的距離，可求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)AE為一邊時(shí)，AE∥PD，②當(dāng)AE為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形對(duì)頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線距離相等，求解點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過A（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
當(dāng)y=2時(shí)，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=2，解得：x₁=3，x₂=0（舍去），
即：點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，2）；
（2）由（1）可知C（0，2），D（3，2），
∴CD=3，
設(shè)P到CD的距離為h，
∴S_△CDP=$\frac{1}{2}$CD•h，
∴$\frac{1}{2}$×3h=$\frac{9}{2}$，解得h=3，
設(shè)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為y，則h=|y-2|=3，
解得y=5或y=-1，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+3$\frac{1}{8}$，
∴其最大值為3$\frac{1}{8}$，∴y=5舍去，
當(dāng)y=-1時(shí)，則有-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-1，解得x=$\frac{3±\sqrt{33}}{2}$，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$，-1）或（$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$），
綜上可知存在滿足條件的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為（$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$，-1）或（$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$）；
（3）A，E兩點(diǎn)都在x軸上，AE有兩種可能：
①當(dāng)AE為一邊時(shí)，AE∥PD，
∴P₁（0，2），
②當(dāng)AE為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形對(duì)頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線距離相等，
可知P點(diǎn)、D點(diǎn)到直線AE（即x軸）的距離相等，
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，
代入拋物線的解析式：-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-2，解得：x₁=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2），（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-2），
綜上所述存在滿足條件的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0，2）或（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2）或（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-2）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解答此類題目要求我們能將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通，屬于中考常涉及的題目，同學(xué)們一定要留意．