Question

8．閱讀材料：
為解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，我們可以將x²-1視為一個整體，設x²-1=y，則原方程可化為y²-5y+4=0，①
解得y₁=1，y₂=4．
當y=1時，x²-1=1，∴x²=2即x=±$\sqrt{2}$．
當y=4時，x²-1=4，∴x²=5即x=±$\sqrt{5}$．
∴原方程的解為x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，x₃=$\sqrt{5}$，x₄=-$\sqrt{5}$．
根據(jù)以上材料，解答下列問題．
（1）填空：在原方程得到方程①的過程中，利用換元法達到降次的目的，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想．
（2）解方程x⁴-x²-6=0．

Answer 1

分析 （1）由換元的方法可知解題的思想是將復雜問題轉化為簡單問題解決的思想；
（2）設x²=y，則原方程可化為y²-y-6=0，解之可得y的值，再進一步解關于x的方程可得．

解答 解：（1）在原方程得到方程①的過程中，利用換元法達到降次的目的，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，
故答案為：轉化．

（2）設x²=y，則原方程可化為y²-y-6=0．
解得y₁=3，y₂=-2（不合題意，舍去）．
由x²=3可得解是：x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$，
故方程x⁴-x²-6=0的解是x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查換元法解方程的方法，我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達到降次的目的．