Question

16．已知如圖，BC是圓O直徑，BE是圓O的切線，切點(diǎn)為B，OE平行于弦CD，ED，BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A，若AC=1，且AC，AD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²-mx+2=0的兩個(gè)根
（1）證明：AE是圓O的切線；
（2）求線段BE的長(zhǎng)；
（3）求tan∠ADC的值．

Answer 1

分析 （1）如圖由BC是⊙O直徑，BE是⊙O的切線，得到∠EBO=90°根據(jù)平行線和等腰三角形的性質(zhì)，得到∠1=∠4，通過(guò)全等三角形證得．
（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求得AD的長(zhǎng)，由切割線定理求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理列方程求得；
（3）由切割線定理求得AB的長(zhǎng)，得到圓的直徑，然后在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理求出BE的長(zhǎng)，則RECOD中，即可求得∠OED的正切值，由于∠ADC=∠OED，由此可求出∠ADC的正切值．

解答 解：（1）證明：如圖，
∵BC是⊙O直徑，BE是⊙O的切線，
∴∠EBO=90°，
∵OE∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵OD=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
在△DOE與△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠1=∠4}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△BOE（SAS），
∴∠ODE=∠B=90°，
∴AE⊥OD，
∴AE是⊙O的切線；

（2）∵AC，AD的長(zhǎng)是關(guān)于X的方程x²-mx+2=0的兩個(gè)根，AC=1，
∴AD=2，
由切割線定理得：AD²=AC•AB，
∴AB=4，
由（1）證得△DOE≌△BOE，
∴BE=DE，
∴BE²+4²=（2+BE）²，
∴BE=3；

（3）∵AB=4，AC=1，
∴BC=3，
∵CD∥OE，
∴∠ADC=∠AEO，
∴tan∠ADC=tan∠AEO=$\frac{OD}{DE}$=$\frac{\frac{3}{2}}{3}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了切線的性質(zhì)、平行線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，關(guān)鍵是（3）要找到∠ADC的等角．