Question

19．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=18，cosB=$\frac{2}{3}$，把△ABC繞著點C旋轉，使點B與AB邊上的點D重合，點A落在點E處，則線段AE的長為（　　）

• A． 6$\sqrt{5}$
• B． 7$\sqrt{5}$
• C． 8$\sqrt{5}$
• D． 9$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 先解直角△ABC，得出BC和AC的長．再根據旋轉的性質得出BC=DC，AC=EC，∠BCD=∠ACE，利用等邊對等角以及三角形內角和定理得出∠B=∠CAE．作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，則∠BCM=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠ACN=$\frac{1}{2}$∠ACE，∠BCM=∠ACN．解直角△ANC求出AN=AC•cos∠CAN，根據等腰三角形三線合一的性質得出AE=2AN，從而求解．

解答 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=$\frac{2}{3}$，
∴BC=AB•cosB=18×$\frac{2}{3}$=12，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=6$\sqrt{5}$．
∵把△ABC繞著點C旋轉，使點B與AB邊上的點D重合，點A落在點E，
∴△ABC≌△EDC，BC=DC=12，AC=EC=6$\sqrt{5}$，∠BCD=∠ACE，
∴∠B=∠CAE．
作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，則∠BCM=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠ACN=$\frac{1}{2}$∠ACE，
∴∠BCM=∠ACN．
∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=6$\sqrt{5}$，cos∠CAN=cosB=$\frac{2}{3}$，
∴AN=AC•cos∠CAN=6$\sqrt{5}$×$\frac{2}{3}$=4$\sqrt{5}$，
∴AE=2AN=8$\sqrt{5}$．
故選C．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了解直角三角形以及等腰三角形的性質．