Question

5．胡老師散步途徑A，B，C，D四地，如圖，其中A，B，C三地在同一直線上，D地在A地北偏東45°方向，在B地正北方向，在C地北偏西60°方向，C地在A地北偏東75°方向，B、D兩地相距2km．問奧運圣火從A地傳到D地的路程（即A→B→C→D的路程）大約是多少？（最后結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7）

Answer 1

分析 由已知D地在A地北偏東45°方向，C地在A地北偏東75°方向，D地在A地北偏東45°方向可知∠DAB=30°∠ADB=45°，則在△ABD中已知兩角和邊BD=2km，求AD的長，可以通過作AD邊上的高轉(zhuǎn)化為解直角三角形解決．

解答 解：過B作BH⊥AD于H．
依題意∠BDH=45°，∠CBD=75°，∠BAD=75°-45°=30°．
在Rt△BDH中，HD=BH=BD•cos45°=$\sqrt{2}$，
在Rt△ABH中，AH=$\frac{BH}{tan30°}$=$\sqrt{6}$，
AB=$\frac{BH}{sin30°}$=2$\sqrt{2}$，
∴AD=AH+HD=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．
∵∠ABD=180°-75°=105°，
∴∠ADC=45°+60°=105°，
∴∠ABD=∠ADC．
又∠DAB=∠CAD，
∴△ABD∽△ADC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{AD}$，即$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{AC}$=$\frac{2}{CD}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$，
解得：AC=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，CD=$\sqrt{3}$+1．
∴奧運圣火從A地到D地的路程是AC+CD=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$+1≈8（km）．

點評 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．解決一般三角形的問題，可以通過作高線，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．