Question

18．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB點F，連接BE．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）求證：PC=PF；
（3）若tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，AB=14，求線段PC的長．

Answer 1

分析 （1）由PD切⊙O于點C，AD與過點C的切線垂直，易證得OC∥AD，繼而證得AC平分∠DAB；
（2）由條件可得∠BCP=∠CAB，∠BCF=∠ACF，結(jié)合外角性質(zhì)可得∠PCF=∠PFC，即可證得PC=PF；
（3）易證△PAC∽△PCB，由相似三角形的性質(zhì)可得到$\frac{PC}{PB}=\frac{AC}{BC}$，又因為tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，所以可得$\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}$，進而可得到$\frac{PC}{PB}=\frac{4}{3}$，設(shè)PC=4k，PB=3k，則在Rt△POC中，利用勾股定理可得PC²+OC²=OP²，進而可建立關(guān)于k的方程，解方程求出k的值即可求出PC的長．

解答 （1）證明：∵PD切⊙O于點C，
∴OC⊥PD，
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC．
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）證明：∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF；
（3）解：∵∠PAC=∠PCB，∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴$\frac{PC}{PB}=\frac{AP}{PC}$．
又∵tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{PC}{PB}=\frac{4}{3}$，
設(shè)PC=4k，PB=3k，則在Rt△POC中，PO=3k+7，OC=7，
∵PC²+OC²=OP²，
∴（4k）²+7²=（3k+7）²，
∴k=6 （k=0不合題意，舍去）．
∴PC=4k=4×6=24．

點評 此題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目，用到的知識點有：切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、勾股定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，是一道不錯的中考題題目．