人教金學(xué)典同步解析與測評八年級數(shù)學(xué)上冊人教版
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2. 如圖，在等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長線上一點(diǎn)，且CE = CD，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，DF⊥BC，垂足為F. 求證：BF = CF.
答案：證明：連接BD. 因?yàn)閈triangle ABC是等邊三角形，D是AC中點(diǎn)，所以BD平分∠ABC，∠ABC = 60°，則∠DBC=\frac{1}{2}∠ABC = 30°. 又因?yàn)镃E = CD，所以∠E = ∠CDE，且∠ACB = ∠E+∠CDE = 60°，所以∠E=\frac{1}{2}∠ACB = 30°. 所以∠DBC = ∠E，所以BD = DE. 因?yàn)镕是BE中點(diǎn)，DF⊥BC，根據(jù)等腰三角形三線合一，所以BF = CF.
3. 如圖，在四邊形ABCD中，AD = CB，AB = CD，E為AD上一點(diǎn)，且∠A = 60°，連接BD，CE，CE，相交于點(diǎn)F，CF//AB. （1）判斷\triangle DEF的形狀，并說明理由；（2）若AD = 16，CE = 24，求CF的長.
答案：（1）因?yàn)锳D = CB，AB = CD，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB//CD. 又因?yàn)镃F//AB，所以CF//CD. 因?yàn)椤螦 = 60°，四邊形ABCD是平行四邊形，所以∠ADC = ∠A = 60°. 因?yàn)锳D = CB，AB = CD，所以\triangle ABD≌\triangle CDB（SSS），所以∠ADB = ∠CBD. 因?yàn)镃F//AB，所以∠DFC = ∠ABD，所以∠DFC = ∠FDC = 60°，所以\triangle DEF是等邊三角形. （2）設(shè)CF = x，則DE = EF = DF = 16 - x. 因?yàn)镃E = 24，所以CF + EF = 24，即x+(16 - x)=24（此方程錯誤，重新分析：過D作DG⊥CF于G，因?yàn)閈triangle DEF是等邊三角形，∠DFC = 60°，設(shè)DE = EF = DF = y，則CF = 24 - y. 在Rt\triangle DFG中，∠FDG = 30°，F(xiàn)G=\frac{1}{2}y，DG=\frac{\sqrt{3}}{2}y. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，AB//CF，AD = 16，所以CD = AB，AD//BC. 因?yàn)镃F//AB，所以四邊形ABCF是平行四邊形，所以AB = CF = 24 - y，所以CD = 24 - y. 在Rt\triangle DCG中，根據(jù)勾股定理DG^{2}+CG^{2}=CD^{2}，CG = CF - FG = 24 - y-\frac{1}{2}y=24-\frac{3}{2}y，(\frac{\sqrt{3}}{2}y)^{2}+(24-\frac{3}{2}y)^{2}=(24 - y)^{2}，展開求解得y = 8，所以CF = 24 - 8 = 16.
4. 如圖，\triangle ABC是等腰三角形，AC = AB，設(shè)∠BAC = β. （1）如圖，點(diǎn)D在線段AB上，若∠ACD = 45°，求∠DCB的度數(shù)（用含β的代數(shù)式表示）；（2）如圖（2），若AB = BD，過點(diǎn)B作BH⊥AD，垂足為H，BH=\frac{1}{2}BC，求證：∠BAC = 180° - 2∠ABD.
答案：（1）因?yàn)锳C = AB，所以∠ACB = ∠ABC=\frac{1}{2}(180° - β)=90°-\frac{β}{2}. 又因?yàn)椤螦CD = 45°，所以∠DCB = ∠ACB - ∠ACD=(90°-\frac{β}{2})- 45°=45°-\frac{β}{2}. （2）因?yàn)锳B = BD，BH⊥AD，所以∠ABD = 2∠ABH. 因?yàn)锽H=\frac{1}{2}BC，在Rt\triangle BHC中，sin∠ACB=\frac{BH}{BC}=\frac{1}{2}，所以∠ACB = 30°. 因?yàn)锳C = AB，所以∠ABC = ∠ACB = 30°. 設(shè)∠ABH = x，則∠ABD = 2x，在\triangle ABC中，∠BAC + ∠ABC+∠ACB = 180°，即∠BAC+30° + 30°=180°，且∠ABC = ∠ABH + ∠HBC，∠HBC = 30° - x. 又因?yàn)锳C = AB，所以∠BAC = 180°-2∠ABC，而∠ABC = ∠ABH+(30° - ∠ABH)=30°，∠ABD = 2∠ABH，所以∠BAC = 180° - 2∠ABD.
5. 如圖，ABC的邊AB上一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，Q為BC延長線上一點(diǎn)，連接PQ，交AC于點(diǎn)D，當(dāng)PA = CQ時，（1）求證：DE為PQ的中點(diǎn)；（2）求DE的長.
答案：（1）過Q作QF⊥AC交AC的延長線于F. 因?yàn)镻E⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP = ∠CFQ = 90°. 因?yàn)椤螦DE = ∠QDF，PA = CQ，∠EAP = ∠FCQ（對頂角的余角相等），所以\triangle AEP≌\triangle CFQ（AAS），所以PE = QF，AE = CF. 又因?yàn)椤螾ED = ∠QFD = 90°，∠PDE = ∠QDF，PE = QF，所以\triangle PDE≌\triangle QDF（AAS），所以DE = DF，即DE為PQ的中點(diǎn). （2）由于題目中未給出任何線段的長度數(shù)值，無法求出DE的具體長度.
