人教金學典同步解析與測評八年級數(shù)學上冊人教版
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1. 下列圖形屬于軸對稱圖形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：本題需根據(jù)軸對稱圖形的定義來判斷。
軸對稱圖形是指在平面內(nèi)沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形。
逐一分析選項：
A選項圖形沿中間豎直直線折疊，直線兩旁部分能夠完全重合，是軸對稱圖形；
B、C、D選項圖形無論沿哪條直線折疊，直線兩旁部分都不能完全重合，不是軸對稱圖形。
所以答案是A。
2. 如圖，$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$關(guān)于直線$l$對稱，連接$CC'$，交直線$l$于點$D$。下列結(jié)論：①$\triangle ACD\cong\triangle A'C'D$；②$\angle BAC=\angle B'A'C'$；③直線$l$平分$\angle BAB'$；④$AC'$平分$\angle CAB'$。其中正確的是（ ）
A. ①②
B. ②④
C. ①②③
D. ①②③④
答案：本題可根據(jù)軸對稱的性質(zhì)逐一分析各結(jié)論。
- **①$\triangle ACD\cong\triangle A'C'D$：**
因為$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$關(guān)于直線$l$對稱，所以$l$是$CC'$的垂直平分線，即$CD = C'D$，$\angle ADC=\angle A'DC' = 90^{\circ}$，又$AD = AD$，根據(jù)全等三角形判定定理（SAS）可得$\triangle ACD\cong\triangle A'C'D$，所以①**正確**。
- **②$\angle BAC=\angle B'A'C'$：**
由軸對稱的性質(zhì)可知，成軸對稱的兩個圖形全等，所以$\triangle ABC\cong\triangle A'B'C'$，根據(jù)全等三角形的對應角相等，可得$\angle BAC=\angle B'A'C'$，所以②**正確**。
- **③直線$l$平分$\angle BAB'$：**
因為$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$關(guān)于直線$l$對稱，所以$l$是對稱軸，根據(jù)對稱軸的性質(zhì)可知直線$l$平分$\angle BAB'$，所以③**正確**。
- **④$AC'$平分$\angle CAB'$：**
僅根據(jù)已知條件無法得出$AC'$平分$\angle CAB'$，所以④**錯誤**。
綜上，①②③正確，答案選C。
3. 如圖，在長方形紙帶$ABCD$中，$AB\parallel CD$，將紙帶沿$EF$折疊，$A$，$D$兩點分別落在$A'$，$D'$處。若$\angle 1 = 62^{\circ}$，則$\angle 2 = $（ ）
A. $72^{\circ}$
B. $56^{\circ}$
C. $62^{\circ}$
D. $48^{\circ}$
答案：本題可先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出$\angle AEF$的度數(shù)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求出$\angle A'EF$的度數(shù)，最后根據(jù)平角的定義求出$\angle 2$的度數(shù)。
- **步驟一：求$\angle AEF$的度數(shù)**
因為$AB\parallel CD$，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得$\angle AEF = \angle 1 = 62^{\circ}$。
- **步驟二：求$\angle A'EF$的度數(shù)**
由折疊的性質(zhì)可知，$\angle A'EF = \angle AEF = 62^{\circ}$。
- **步驟三：求$\angle 2$的度數(shù)**
因為$\angle AEF + \angle A'EF + \angle 2 = 180^{\circ}$，所以$\angle 2 = 180^{\circ} - \angle AEF - \angle A'EF = 180^{\circ} - 62^{\circ} - 62^{\circ} = 56^{\circ}$。
綜上，答案選B。
4. 如圖，已知$\angle POQ = 30^{\circ}$，點$A_1$，$A_2$，$A_3$，$\cdots$在射線$OQ$上，點$B_1$，$B_2$，$B_3$，$\cdots$在射線$OP$上，$\triangle A_1B_1A_2$，$\triangle A_2B_2A_3$，$\triangle A_3B_3A_4$，$\cdots$均為等邊三角形。若$OA_1 = 2$，則$\triangle A_6B_6A_7$的邊長為（ ）
A. 128
B. 64
C. 32
D. 16
答案：本題可先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)求出前幾個等邊三角形的邊長，找出邊長的規(guī)律，進而求出$\triangle A_6B_6A_7$的邊長。
- **步驟一：求$\triangle A_1B_1A_2$的邊長**
因為$\triangle A_1B_1A_2$是等邊三角形，所以$\angle B_1A_1A_2 = 60^{\circ}$，又$\angle POQ = 30^{\circ}$，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得$\angle OB_1A_1 = \angle B_1A_1A_2 - \angle POQ = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$，所以$\angle OB_1A_1 = \angle POQ$，則$A_1B_1 = OA_1 = 2$，即$\triangle A_1B_1A_2$的邊長為$2$。
- **步驟二：求$\triangle A_2B_2A_3$的邊長**
因為$\triangle A_1B_1A_2$是等邊三角形，所以$A_1A_2 = A_1B_1 = 2$，$\angle B_1A_1A_2 = 60^{\circ}$，則$\angle B_2A_2A_3 = 60^{\circ}$，$\angle OA_2B_1 = \angle B_1A_1A_2 + \angle POQ = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$，$\angle OB_2A_2 = 30^{\circ}$，所以$A_2B_2 = 2A_1A_2 = 2\times2 = 4$，即$\triangle A_2B_2A_3$的邊長為$4$。
- **步驟三：求$\triangle A_3B_3A_4$的邊長**
同理可得$A_2A_3 = A_2B_2 = 4$，$\angle B_3A_3A_4 = 60^{\circ}$，$\angle OA_3B_2 = 90^{\circ}$，$\angle OB_3A_3 = 30^{\circ}$，所以$A_3B_3 = 2A_2A_3 = 2\times4 = 8$，即$\triangle A_3B_3A_4$的邊長為$8$。
- **步驟四：找出邊長規(guī)律并求$\triangle A_6B_6A_7$的邊長**
通過前面的計算，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：$\triangle A_nB_nA_{n + 1}$的邊長為$2^n$。
所以$\triangle A_6B_6A_7$的邊長為$2^6 = 64$。
綜上，答案選B。
二、填空題
5. 鏡子里寫著$\boxed{8502}$，則實際數(shù)字為$\underline{\quad\quad}$。
答案：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱。
所以鏡子里的$\boxed{8502}$，實際數(shù)字為$5028$。
6. 如圖，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle A = 120^{\circ}$，$BC = 9\mathrm{cm}$，$AB$的垂直平分線交$BC$于點$M$，交$AB$于點$E$，$AC$的垂直平分線交$BC$于點$N$，交$AC$于點$F$，則$MN=\underline{\quad\quad}\mathrm{cm}$。
答案：本題可先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出$\angle B$和$\angle C$的度數(shù)，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到$AM = BM$，$AN = CN$，進而求出$\angle MAN$的度數(shù)，最后證明$\triangle AMN$是等邊三角形，從而求出$MN$的長度。
- **步驟一：求$\angle B$和$\angle C$的度數(shù)**
因為$AB = AC$，$\angle A = 120^{\circ}$，根據(jù)等腰三角形兩底角相等以及三角形內(nèi)角和為$180^{\circ}$，可得$\angle B = \angle C = \frac{1}{2}(180^{\circ} - 120^{\circ}) = 30^{\circ}$。
- **步驟二：根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到$AM = BM$，$AN = CN$**
因為$ME$是$AB$的垂直平分線，所以$AM = BM$，同理$AN = CN$。
- **步驟三：求$\angle MAN$的度數(shù)**
因為$AM = BM$，所以$\angle BAM = \angle B = 30^{\circ}$，同理$\angle CAN = \angle C = 30^{\circ}$，則$\angle MAN = \angle BAC - \angle BAM - \angle CAN = 120^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$。
- **步驟四：證明$\triangle AMN$是等邊三角形并求$MN$的長度**
因為$AM = BM$，$AN = CN$，所以$BM + CN = AM + AN$，又$BC = BM + MN + CN = 9\mathrm{cm}$，$\angle MAN = 60^{\circ}$，$AM = AN$（由$AM = BM$，$AN = CN$以及$\angle B = \angle C = 30^{\circ}$可推出），所以$\triangle AMN$是等邊三角形，則$MN = AM = AN$。
所以$MN = \frac{1}{3}BC = \frac{1}{3}×9 = 3\mathrm{cm}$。
