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3.已知函數(shù)

(1)求f(x)的定義域；(2)作出f(x)的圖形；(3)判斷f(x)是否處處連續(xù).

解：(1)f(x)的定義域是［－4，3.5］.

(2)f(x)的圖象如圖所示.

(3)由f(x)的圖象可知，在定義域［－4，3.5］上，f(x)在點(diǎn)x=－1處不連續(xù)，因?yàn)?i>f(x)在x=－1處沒(méi)有極限.

點(diǎn)評(píng)：分段函數(shù)的定義域是其各段定義域的并集，易知基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，因此分段函數(shù)在其各段內(nèi)也是連續(xù)的，重點(diǎn)應(yīng)判斷各段的交界處是否連續(xù)，對(duì)這些點(diǎn)應(yīng)用連續(xù)的定義判斷，凡其圖象在某點(diǎn)處斷開(kāi)，則函數(shù)在該點(diǎn)處不連續(xù).

2.利用下列函數(shù)的圖象，說(shuō)明函數(shù)在給定點(diǎn)處是否連續(xù).

(1)f(x)=，點(diǎn)x=0

解：∵f(x)在x=0處沒(méi)有定義. ∴f(x)在x=0處不連續(xù).

(2)f(x)=|x|.點(diǎn)x=0

解：∵f(x)=0=f(0),∴f(x)在x=0處連續(xù).

1．下面我們直接從圖中，觀(guān)察函數(shù)x=a處是否連續(xù)，并說(shuō)出理由.

(1)　　　　　　 　　(2)　 　　(3)　　 　　　　　 (4)

(1)連續(xù).因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)x=a處有定義，極限存在，并且極限值等于在a點(diǎn)的函數(shù)值.(如圖(1))

　(2)不連續(xù).因?yàn)楹瘮?shù)在x=a處的極限值不等于在x=a處的函數(shù)值.(如圖(2))

(3)連續(xù).因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)x=a處，有定義，有極限，極限值等于函數(shù)值.(如圖(3))

(4)不連續(xù).因?yàn)楹瘮?shù)在x=a處沒(méi)有極限.(如圖(4))

(5)不連續(xù).因?yàn)楹瘮?shù)在x=a處沒(méi)有定義.(如圖(5))

例1 討論下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的連續(xù)性.

(1)f(x)=，點(diǎn)x=0.　 (2)g(x)=sinx，點(diǎn)x=0.

分析：我們?nèi)绻�要很直觀(guān)地看在給定點(diǎn)是否連續(xù)，畫(huà)圖方法最方便．

我們已經(jīng)畫(huà)出了兩個(gè)函數(shù)的圖象了.從圖中，我們可以直接看出在x=0處函數(shù)連續(xù)的情況，

函數(shù)f(x)=在點(diǎn)x=0處不連續(xù)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=在點(diǎn)x=0處沒(méi)有定義.

函數(shù)g(x)=sinx在點(diǎn)x=0處連續(xù)，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=sinx，在x=0及附近都有定義，sinx存在且sinx=0而sin0=0.

解：(1)∵函數(shù)f(x)=在點(diǎn)x=0處沒(méi)有定義　　 ∴它在點(diǎn)x=0處不連續(xù).

解：(2)∵sinx=0=sin0，∴函數(shù)g(x)=sinx在點(diǎn)x=0處是連續(xù)的.

點(diǎn)評(píng)：寫(xiě)g(x)=sinx在點(diǎn)x=0處連續(xù)只要把第三個(gè)條件寫(xiě)一下就可以，因?yàn)樗�已�?jīng)包含前兩個(gè)條件了，我們已經(jīng)知道函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義了．

例2　 求f(x)=x　 x∈［－1，1］的最大值和最小值．

解：最大值　 f(1)=1；最小值　 f(－1)=－1．

7.最大值最小值定理

如果f(x)是閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在閉區(qū)間［a，b］上有最大值和最小值

我們現(xiàn)在已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，和需要滿(mǎn)足的三個(gè)條件，下面看兩個(gè)例子，看在給定點(diǎn)處是否連續(xù)，都要說(shuō)明理由的

6.最小值

f(x)是閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)，如果對(duì)于任意x∈［a，b］，f(x₂)≤f(x)，那么f(x)在點(diǎn)x₂處有最小值f(x₂).

由圖我們可以知道，函數(shù)f(x)在［a，b］上連續(xù)，則一定有最大最小值，這是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì).最大，最小值可以在(a，b)內(nèi)的點(diǎn)取到，也可以在a，b兩個(gè)端點(diǎn)上取到.

5.最大值

f(x)是閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)，如果對(duì)于任意x∈［a，b］，f(x₁)≥f(x)，那么f(x)在點(diǎn)x₁處有最大值f(x₁).

4.函數(shù)f(x)在［a，b］上連續(xù)的定義：

如果f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，在左端點(diǎn)x=a處有f(x)=f(a)，在右端點(diǎn)x=b處有f(x)=f(b),就說(shuō)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù),或f(x)是閉區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù).

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上是連續(xù)函數(shù)，那它的圖象肯定是一條連續(xù)曲線(xiàn).

我們來(lái)看這張圖，它是連續(xù)的，在a、b兩點(diǎn)的值都是取到，所以它一定有一個(gè)最高點(diǎn)和一個(gè)最低點(diǎn)，假設(shè)在x₁這點(diǎn)最高；那么它的函數(shù)值最大，就是說(shuō)［a，b］區(qū)間上的各個(gè)點(diǎn)的值都不大于x₁處的值，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示就是f(x₁)≥f(x)，x∈［a，b］，同理，設(shè)x₂是最低點(diǎn)，f(x₂)≤f(x)，x∈［a，b］.

3.函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)的定義：

如果函數(shù)f(x)在某一開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)處連續(xù)，就說(shuō)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，或f(x)是開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù).

f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)以及在a、b兩點(diǎn)都連續(xù)，現(xiàn)在函數(shù)f(x)的定義域是［a，b］，若在a點(diǎn)連續(xù)，則f(x)在a點(diǎn)的極限存在并且等于f(a)，即在a點(diǎn)的左、右極限都存在，且都等于f(a)， f(x)在(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處連續(xù)，在a點(diǎn)處右極限存在等于f(a)，在b點(diǎn)處左極限存在等于f(b).

2. 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義: 如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x₀處有定義，f(x)存在，且f(x)=f(x₀)，那么函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x₀處連續(xù).

由第三個(gè)條件，f(x)=f(x₀)就可以知道f(x)是存在的，所以我們下定義時(shí)可以再簡(jiǎn)潔一點(diǎn). 函數(shù)f(x)在點(diǎn)x₀處連續(xù)的定義.

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x₀處及其附近有定義，并且f(x)=f(x₀)，就說(shuō)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x₀處連續(xù).

那怎么根據(jù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義來(lái)定義在一個(gè)開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)的定義．　區(qū)間是由點(diǎn)構(gòu)成的，只要函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù)，那么它在開(kāi)區(qū)間內(nèi)也就連續(xù)了.