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1．函數(shù)f(x)在x₀處連續(xù)是f(x)在點x₀處有極限的　 (　 )

A充分不必要條件　　 B必要不充分條件

C充要條件　　　　　 D既不充分也不必要條件

4．函數(shù)f(x)在點x₀處連續(xù)必須具備以下三個條件:

函數(shù)f(x)在點x=x₀處有定義;

函數(shù)f(x)在點x=x₀處有極限;

函數(shù)f(x)在點x=x₀處的極限值等于在這一點x₀處的函數(shù)值,即f(x)=f(x₀)．

同步練習(xí)　　 11．2 函數(shù)極限與連續(xù)性

[選擇題]

3．求函數(shù)的極限的幾種基本的方法:

①代入法；②約去分母為零的因式；③分子、分母同除x的最高次冪；④有理化法

2．兩個(或幾個)函數(shù)的極限至少有一個不存在時，他們的和、差、積、商的極限不一定不存在．．

1．有限個函數(shù)的和(或積)的極限等于這些函數(shù)極限的和(或積),在求幾個函數(shù)的和(或積)的極限時，一般要化簡，再求極限；

[例1]求下列各極限：

(1)

(2)(－x)；

　(3) ．(a＞0)

解:(1)

(2)原式==a+b

(3) 原式=

　=

==

=

提煉方法：1．對于題(1)“”要先除以x的最高次方;題(2)“∞-∞”要先有理化,然后再求極限;

2．在題(3)中,當b<0時,f(x)=在x=0處連續(xù),極限值就等于f(0)．當b>0時, f (x)在x₀處不連續(xù)，x→0時,分母為零,要先有理化,去掉掉分母為零的式子,再求極限．

[例2](1)設(shè)f(x)=試確定b的值,使存在．

(2)f (x)為多項式,且=1,=5,求f(x)的表達式

解:(1) f (x)= 　(2x+b)=b,

f(x)= 　(1+2^x)=2,

當且僅當b=2時, f (x)= f (x),

故b=2時,原極限存在

(2)由于f(x)是多項式,且=1,

∴可設(shè)f (x)=4x³+x²+ax+b(a、b為待定系數(shù))

又∵=5,

即(4x²+x+a+)=5,

∴a=5,b=0, 即f (x)=4x³+x²+5x

點評:(1)理解極限的定義和極限存在的條件;

(2)初等函數(shù)在其定義域內(nèi)每點的極限值就等于這一點的函數(shù)值．

[例3]已知函數(shù)f (x)=，試求:

(1)f (x)的定義域，并畫出圖象；

(2)求f (x)、f (x),并指出f (x)是否存在．

解:(1)當|x|＞2時，

==－1;

當|x|＜2時，==1;

當x=2時，=0;

當x=－2時，不存在．

∴f (x)=

∴f (x)的定義域為{x|x＜－2或x=2或x＞2}．

如下圖:

(2)∵f (x)=－1,f (x)=1．∴f (x)不存在．

[例4]討論函數(shù)的連續(xù)性,并作出函數(shù)的圖象．

分析:應(yīng)先求出f (x)的解析式，再判斷連續(xù)性．

解:當0≤x＜1時，f (x)= x=x;

當x＞1時，f (x)= ·x=·x=－x;

當x=1時，f (x)=0．

∴f (x)=

∵f(x)=(－x)=－1,f(x)= x=1,

∴f(x)不存在．

∴f (x)在x=1處不連續(xù)，f (x)在定義域內(nèi)的其余點都連續(xù)．

圖象如下圖所示．

提煉方法: 分段函數(shù)討論連續(xù)性，要討論在“分界點”的左、右極限，進而判斷連續(xù)性．

[研討．欣賞]設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),如果為(a,b)內(nèi)的任意n個點．求證:在[x₁,x_n]上至少存在一點x₀,使得

證明:由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),f(x)在閉區(qū)間[x₁,x_n]上必有最大值M,和最小值m,從而

m≤f(x_i)≤M,(i=1,2,……n)．

∴,從而必有x₀,使

．

6． f (0)=f (x)= = =

4． ;　 5． ;

3．f(x)= f(x)=f()．

6．要使f (x)=在點x=0處連續(xù)，則需補充定義f (0)=______

簡答:1-3．DCD;