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2、擺鐘問(wèn)題

單擺的一個(gè)重要應(yīng)用就是利用單擺振動(dòng)的等時(shí)性制成擺鐘。在計(jì)算擺鐘類的問(wèn)題時(shí)，利用以下方法比較簡(jiǎn)單：在一定時(shí)間內(nèi)，擺鐘走過(guò)的格子數(shù)n與頻率f成正比(n可以是分鐘數(shù)，也可以是秒數(shù)、小時(shí)數(shù)……)，再由頻率公式可以得到：

[例6]有一擺鐘的擺長(zhǎng)為l_l時(shí)，在某一標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間內(nèi)快amin。若擺長(zhǎng)為l₂時(shí)，在同一標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間內(nèi)慢bmin。，求為使其準(zhǔn)確，擺長(zhǎng)應(yīng)為多長(zhǎng)？(可把鐘擺視為擺角很小的單擺)。

[解析]設(shè)該標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間為ts，準(zhǔn)確擺鐘擺長(zhǎng)為lm，走時(shí)快的鐘周期為T₁s，走慢時(shí)的周期為T₂s，準(zhǔn)確的鐘周期為T₃。不管走時(shí)準(zhǔn)確與否，鐘擺每完成一次全振動(dòng)，鐘面上顯示時(shí)間都是Ts。

(法一)由各擺鐘在ts內(nèi)鐘面上顯示的時(shí)間求解，　

　　　 對(duì)快鐘： t+60a=T；　　　 對(duì)慢鐘： t- 60a=T

　　 聯(lián)立解，可得==　　　 最后可得L=。

(法二)由各擺鐘在ts內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)關(guān)系求解：

設(shè)快鐘的 t s內(nèi)全振動(dòng)次數(shù)為 n_l，慢鐘為 n₂，準(zhǔn)確的鐘為n。顯然，快鐘比準(zhǔn)確的鐘多振動(dòng)了60a/T次，慢鐘比準(zhǔn)確的鐘少振動(dòng)60b/T次，故：

　　 對(duì)快鐘：n_l＝t/T₁＝n+60a/T＝t/T+60a/T

　　 對(duì)慢鐘：n₂＝t/T₂＝n－60b/T＝t/T－60b/T

　　 聯(lián)解①②式，并利用單擺周期公式T＝2同樣可得L=

點(diǎn)竅：對(duì)走時(shí)不準(zhǔn)的擺鐘問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)抓住：由于擺鐘的機(jī)械構(gòu)造所決定，鐘擺每完成一次全振動(dòng)，擺鐘所顯示的時(shí)間為一定值，也就是走時(shí)準(zhǔn)確的擺鐘的周期T。

5.共振

(1)當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，物體的振幅最大的現(xiàn)象叫做共振．

　(2)條件：驅(qū)動(dòng)力的頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率．

(3)共振曲線．如圖所示．

[例3]行駛著的火車車輪，每接觸到兩根鋼軌相接處的縫隙時(shí)，就受到一次撞擊使車廂在支著它的彈簧上面振動(dòng)起來(lái)．已知車廂的固有同期是0．58s，每根鋼軌的長(zhǎng)是12．6 m，當(dāng)車廂上、下振動(dòng)得最厲害時(shí)，火車的車速等于　　　　　　　 m／s．

　　 解析：該題應(yīng)用共振的條件來(lái)求解．火車行駛時(shí)，每當(dāng)通過(guò)鐵軌的接縫處就會(huì)受到一次沖擊力，該力即為策動(dòng)力．當(dāng)策動(dòng)周期T_策和彈簧與車廂的國(guó)有周期相等時(shí)，即發(fā)生共振，即　　 T_策＝T_固＝ 0．58 s ………①　 T_策=t=L/v……②　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 將①代入②解得v=L/0．58=21．7 m／s　　 答案：21．7m／s

規(guī)律方法1、單擺的等效問(wèn)題

①等效擺長(zhǎng)：如圖所示，當(dāng)小球垂直紙面方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺長(zhǎng)為CO．

②等效重力加速度：當(dāng)單擺在某裝置內(nèi)向上運(yùn)動(dòng)加速度為a時(shí)，T＝2π；當(dāng)向上減速時(shí)T=2π，影響回復(fù)力的等效加速度可以這樣求，擺球在平衡位置靜止時(shí)，擺線的張力T與擺球質(zhì)量的比值．

[例4]如圖所示，在光滑導(dǎo)軌上有一個(gè)滾輪A，質(zhì)量為2m，軸上系一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的線，下端懸掛一個(gè)擺球B，質(zhì)量為m，設(shè)B擺小球作小幅度振動(dòng)，求振動(dòng)周期。

[分析]將2m的A球和m的B球組成系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)的重心O點(diǎn)可視為單擺的懸點(diǎn)，利用水平方向動(dòng)量守恒可求出等效擺長(zhǎng)。

[解析]A和B兩物體組成的系統(tǒng)由于內(nèi)力的作用，在水平方向上動(dòng)量守恒，因此A和B速度之比跟質(zhì)量成反比，即v_A/v_B=m_B/m_A=1/2．因此A和B 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中平均速度/=1/2，亦即位移 S_A/S_B＝1/2。，

因?yàn)棣�OAA^/∽ΔOBB^/，則OB/OA＝2/1。

對(duì)B球來(lái)說(shuō)，其擺長(zhǎng)應(yīng)為2/3 L，因此B球的周期T＝2。

說(shuō)明：據(jù)動(dòng)量守恒條件，2m在A位置時(shí)，m在 B位置，當(dāng)2 m運(yùn)動(dòng)到A^/時(shí)，m運(yùn)動(dòng)到B^/。

[例5]如圖所示，三根細(xì)線OA, OB,OC結(jié)于O點(diǎn)，A,B端固定在同一水平面上且相距為L(zhǎng)，使AOB成一直角三角形，∠BAO = 30⁰，已知OC繩長(zhǎng)也為L(zhǎng)，下端C點(diǎn)系一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，下面說(shuō)法中正確的是

A、當(dāng)小球在紙面內(nèi)做小角度振動(dòng)時(shí),周期為：

B.當(dāng)小球在垂直紙面方向做小角度振動(dòng)時(shí)，周期為

C.當(dāng)小球在紙面內(nèi)做小角度振動(dòng)時(shí)，周期為

D.當(dāng)小球在垂直紙面內(nèi)做小角度振動(dòng)時(shí)，周期為

解析:當(dāng)小球在紙面內(nèi)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，是以0點(diǎn)為圓心,OC長(zhǎng)L為半徑做變速圓周運(yùn)動(dòng)，OA和OB繩沒(méi)有松弛，其擺長(zhǎng)為L(zhǎng),所以周期是；當(dāng)小球在垂直于紙面的方向上做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，擺球是以O(shè)C的延長(zhǎng)線與AB交點(diǎn)為圓心做振動(dòng),其等效的擺長(zhǎng)為L(zhǎng)十Lsin60⁰/2=L十L/4 ,其周期為,故選A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

拓展:若將上題中的小球改為裝滿沙子的漏斗，在漏斗擺動(dòng)的過(guò)程中，讓沙子勻速的從漏斗底部漏出，則單擺的周期如何變化?(因沙子遂漸漏出，其重心的位置先下移后上升，等效擺長(zhǎng)先增加后減小，所以周期先變長(zhǎng)后減小)。

[例5]在圖中的幾個(gè)相同的單擺在不同的條件下，關(guān)于它們的周期關(guān)系，判斷正確的是(　 )

　　 A、T₁＞T₂＞T₃＞T₄；　 B、T₁＜T₂=T₃＜T₄

　　 C、T₁＞T₂=T₃＞T_4、； _、 D、T₁＜T₂＜T₃＜T₄

[解析]單擺的周期與重力加速度有關(guān)．這是因?yàn)槭侵亓Φ姆至μ峁┗貜?fù)力．當(dāng)單擺處于(1)圖所示的條件下，當(dāng)擺球偏離平衡位置后，是重力平行斜面的分量(mgsinθ)沿切向分量提供回復(fù)力，回復(fù)力相對(duì)豎直放置的單擺是減小的，則運(yùn)動(dòng)中的加速度減小，回到平衡位置的時(shí)間變長(zhǎng)，周期T₁＞T₃．對(duì)于(2)圖所示的條件，帶正電的擺球在振動(dòng)過(guò)程中要受到天花板上帶正電小球的斥力，但是兩球間的斥力與運(yùn)動(dòng)的方向總是垂直，不影響回復(fù)力，故單擺的周期不變，T₂=T₃．在(4)圖所示的條件下，單擺與升降機(jī)一起作加速上升的運(yùn)動(dòng)，也就是擺球在該升降機(jī)中是超重的，相當(dāng)于擺球的重力增大，沿?cái)[動(dòng)的切向分量也增大，也就是回復(fù)力在增大，擺球回到相對(duì)平衡的位置時(shí)間變短，故周期變小，T₄＜T₃．綜上所述，只有C選項(xiàng)正確．

　點(diǎn)評(píng)：對(duì)于單擺的周期公式，在擺長(zhǎng)不變的條件下，能影響單擺振動(dòng)的周期的因素就是運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的回復(fù)力發(fā)生的變化，回復(fù)力增大，周期變小，回復(fù)力變小，周期變大．這是判斷在擺長(zhǎng)不變時(shí)單擺周期變化的唯一

4.受迫振動(dòng)

(1)振動(dòng)系統(tǒng)在周期性驅(qū)動(dòng)力作用下的振動(dòng)叫做受迫振動(dòng)．

(2)受迫振動(dòng)穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)的頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率，跟系統(tǒng)的固有頻率無(wú)關(guān)．

3、阻尼振動(dòng)與無(wú)阻尼振動(dòng)

(1)振幅逐漸減小的振動(dòng)叫做阻尼振動(dòng)．

(2)振幅不變的振動(dòng)為等幅振動(dòng)，也叫做無(wú)阻尼振動(dòng)．

注意：等幅振動(dòng)、阻尼振動(dòng)是從振幅是否變化的角度來(lái)區(qū)分的，等幅振動(dòng)不一定不受阻力作用．

2、振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能大小由振幅大小決定，同一系統(tǒng)振幅越大，機(jī)械能就越大．若無(wú)能量損失，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，做等幅振動(dòng)．

1、對(duì)于給定的振動(dòng)系統(tǒng)，振動(dòng)的動(dòng)能由振動(dòng)的速度決定，振動(dòng)的勢(shì)能由振動(dòng)的位移決定，振動(dòng)的能量就是振動(dòng)系統(tǒng)在某個(gè)狀態(tài)下的動(dòng)能和勢(shì)能的總和．

5、小球在光滑圓弧上的往復(fù)滾動(dòng)，和單擺完全等同。只要擺角足夠小，這個(gè)振動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。這時(shí)周期公式中的l應(yīng)該是圓弧半徑R和小球半徑r的差。

4、單擺的周期：當(dāng) l、g一定，則周期為定值 T=2π，與小球是否運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)．與擺球質(zhì)量m、振幅A都無(wú)關(guān)。其中擺長(zhǎng)l指懸點(diǎn)到小球重心的距離，重力加速度為單擺所在處的測(cè)量值。要區(qū)分?jǐn)[長(zhǎng)和擺線長(zhǎng)。

3、單擺振動(dòng)的回復(fù)力是重力的切向分力，不能說(shuō)成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回復(fù)力是零，但合力是向心力，指向懸點(diǎn)，不為零。